Номер 321, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

321. Постройте график функции $y = (x+5)^2 - 9$. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Для построения графика функции $y = (x + 5)^2 - 9$ воспользуемся методом преобразования графика основной параболы $y = x^2$.

1. Сначала строим график базовой функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
2. Далее сдвигаем график $y = x^2$ на 5 единиц влево вдоль оси Ox. Это преобразование описывается заменой $x$ на $(x+5)$, и мы получаем график функции $y = (x+5)^2$. Вершина новой параболы теперь находится в точке $(-5, 0)$.
3. Наконец, сдвигаем полученный на втором шаге график на 9 единиц вниз вдоль оси Oy. Это соответствует вычитанию 9 из всей функции. Таким образом, мы получаем искомый график $y = (x + 5)^2 - 9$. Вершина итоговой параболы находится в точке $(-5, -9)$.

Итак, график функции $y = (x + 5)^2 - 9$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке с координатами $(-5, -9)$. Осью симметрии параболы является прямая $x = -5$.

Для более точного построения найдем ключевые точки — точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью Oy (при $x = 0$):
  $y = (0 + 5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16$.
  График пересекает ось ординат в точке $(0, 16)$.
• Пересечение с осью Ox (нули функции, при $y = 0$):
  $(x + 5)^2 - 9 = 0$
  $(x + 5)^2 = 9$
  $x + 5 = \sqrt{9}$ или $x + 5 = -\sqrt{9}$
  $x + 5 = 3 \Rightarrow x_1 = -2$
  $x + 5 = -3 \Rightarrow x_2 = -8$
  График пересекает ось абсцисс в точках $(-8, 0)$ и $(-2, 0)$.

Используя вершину, ось симметрии и точки пересечения с осями, мы можем построить график. Теперь, анализируя график, ответим на поставленные вопросы.

1) нули функции:

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). На графике это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. Как мы уже вычислили, это происходит в точках $x = -8$ и $x = -2$.

Ответ: $-8; -2$.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения:

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) там, где ее график расположен выше оси Ox. Глядя на параболу, мы видим, что это происходит на двух интервалах: левее корня $x = -8$ и правее корня $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции:

Вершина параболы $(-5, -9)$ является точкой минимума. Слева от вершины функция убывает, а справа — возрастает.

• Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины, то есть при $x \in (-\infty; -5]$.
• Функция возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$, то есть при $x \in [-5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -5]$.

4) область значений функции:

Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y$. Поскольку вершина параболы является ее самой низкой точкой и ее ордината равна $-9$, а ветви направлены вверх, функция принимает все значения, начиная от $-9$ включительно и до бесконечности.

Ответ: $[-9; +\infty)$.