Номер 317, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

317. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 + 1;$

2) $y = -x^2 - 2;$

3) $y = -(x - 2)^2;$

4) $y = -(x + 4)^2;$

5) $y = -(x + 1)^2 - 1;$

6) $y = -(x - 3)^2 + 4.$

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Ось симметрии — ось OY. Для построения найдем несколько точек:

• при $x = 0$, $y = -0^2 = 0$ → точка $(0, 0)$
• при $x = 1$, $y = -1^2 = -1$ → точка $(1, -1)$
• при $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$ → точка $(-1, -1)$
• при $x = 2$, $y = -2^2 = -4$ → точка $(2, -4)$
• при $x = -2$, $y = -(-2)^2 = -4$ → точка $(-2, -4)$

Используя этот базовый график, построим графики остальных функций с помощью преобразований (сдвигов).

1) $y = -x^2 + 1$

График функции $y = -x^2 + 1$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OY на 1 единицу вверх. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 1 вверх. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 1$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 1 единицу вверх.

2) $y = -x^2 - 2$

График функции $y = -x^2 - 2$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси OY на 2 единицы вниз. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 2 вниз. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 2$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 2 единицы вниз.

3) $y = -(x - 2)^2$

График функции $y = -(x - 2)^2$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси OX на 2 единицы вправо. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 2 вправо. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 2)^2$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 2 единицы вправо.

4) $y = -(x + 4)^2$

График функции $y = -(x + 4)^2$ получается из графика функции $y = -x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси OX на 4 единицы влево (так как $x+4 = x - (-4)$). Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 4 влево. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 4)^2$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 4 единицы влево.

5) $y = -(x + 1)^2 - 1$

График этой функции получается из графика $y = -x^2$ путем двух последовательных сдвигов:

1. Сдвиг на 1 единицу влево вдоль оси OX.
2. Сдвиг на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-1, -1)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 1)^2 - 1$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 1 единицу влево и на 1 единицу вниз.

6) $y = -(x - 3)^2 + 4$

График этой функции получается из графика $y = -x^2$ путем двух последовательных сдвигов:

1. Сдвиг на 3 единицы вправо вдоль оси OX.
2. Сдвиг на 4 единицы вверх вдоль оси OY.

Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 4)$.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2 + 4$ — это парабола $y = -x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо и на 4 единицы вверх.