Страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

383. Участок земли прямоугольной формы надо огородить забором длиной 160 м. Какую наибольшую площадь может иметь этот участок?

Пусть стороны прямоугольного участка земли равны $a$ и $b$ метров. Длина забора — это периметр прямоугольника, который по условию равен 160 м.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

$P = 2(a+b)$

Подставим известное значение периметра:

$160 = 2(a+b)$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон:

$a+b = 80$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Нам нужно найти максимальное значение площади $S$. Для этого выразим одну сторону через другую из уравнения для полупериметра. Например, выразим $b$:

$b = 80 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить зависимость площади от длины одной стороны $a$:

$S(a) = a \cdot (80 - a) = 80a - a^2$

Получилась квадратичная функция $S(a) = -a^2 + 80a$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.

Координату вершины параболы $y = kx^2 + mx + n$ по оси абсцисс можно найти по формуле $x_0 = -\frac{m}{2k}$.

В нашем случае $k = -1$ и $m = 80$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{80}{2 \cdot (-1)} = -\frac{80}{-2} = 40$

Таким образом, одна сторона прямоугольника для максимальной площади равна 40 м. Найдем вторую сторону:

$b = 80 - a = 80 - 40 = 40$ м

Это означает, что наибольшую площадь при заданном периметре будет иметь квадрат. Вычислим эту максимальную площадь:

$S_{max} = 40 \text{ м} \cdot 40 \text{ м} = 1600 \text{ м}^2$

Ответ: наибольшая площадь, которую может иметь этот участок, составляет $1600 \text{ м}^2$.

384. Постройте график функции:

1) $y = \frac{8x + 2x^2 - x^3}{x}$;

2) $y = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 3$;

3) $y = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$;

4) $y = \frac{x^4 + 4x^2 - 5}{x^2 - 1}$.

1) $y = \frac{8x + 2x^2 - x^3}{x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Упростим выражение, разделив каждый член числителя на $x$:

$y = \frac{8x}{x} + \frac{2x^2}{x} - \frac{x^3}{x} = 8 + 2x - x^2$

Таким образом, мы получили квадратичную функцию $y = -x^2 + 2x + 8$ с ограничением $x \neq 0$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Подставим $x_v$ в уравнение, чтобы найти $y_v$:

$y_v = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 9)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения: $(4, 0)$ и $(-2, 0)$.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

Согласно ОДЗ, $x \neq 0$. Следовательно, график не пересекает ось Oy. В точке, где $x=0$, будет разрыв (выколотая точка). Найдем ее координаты, подставив $x=0$ в упрощенное уравнение:

$y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$.

Координаты выколотой точки: $(0, 8)$.

Итак, мы строим параболу $y = -x^2 + 2x + 8$, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(1, 9)$, и выкалываем на ней точку $(0, 8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = -x^2 + 2x + 8$ с выколотой точкой $(0, 8)$.

2) $y = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 3$

Найдем ОДЗ: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Упростим выражение. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя дроби:

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$.

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} - 3$

При $x \neq 2$ можно сократить дробь:

$y = (x^2 + 2x + 4) - 3 = x^2 + 2x + 1$.

Полученное выражение является полным квадратом: $y = (x+1)^2$.

Графиком функции $y = (x+1)^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу влево по оси Ox.

Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$.

Найдем выколотую точку. Функция не определена при $x=2$. Найдем значение $y$ для этого значения $x$ в упрощенной функции:

$y = (2+1)^2 = 3^2 = 9$.

Координаты выколотой точки: $(2, 9)$.

Строим параболу $y = (x+1)^2$ с вершиной в $(-1, 0)$ и выкалываем на ней точку $(2, 9)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = (x+1)^2$ с выколотой точкой $(2, 9)$.

3) $y = \frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$

Найдем ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $(x-2)(x+2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Упростим выражение. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:

$x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 - 4}$

При $x \neq \pm 2$ можно сократить дробь:

$y = x^2 + 4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вверх по оси Oy.

Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.

Найдем выколотые точки. Функция не определена при $x=2$ и $x=-2$.

При $x=2$: $y = 2^2 + 4 = 8$. Выколотая точка $(2, 8)$.

При $x=-2$: $y = (-2)^2 + 4 = 8$. Выколотая точка $(-2, 8)$.

Строим параболу $y = x^2 + 4$ с вершиной в $(0, 4)$ и выкалываем на ней точки $(2, 8)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 4$ с выколотыми точками $(2, 8)$ и $(-2, 8)$.

4) $y = \frac{x^4 + 4x^2 - 5}{x^2 - 1}$

Найдем ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение, разложив числитель на множители. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 + 4t - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Тогда $t^2 + 4t - 5 = (t-1)(t+5)$.

Возвращаемся к замене:

$x^4 + 4x^2 - 5 = (x^2 - 1)(x^2 + 5)$.

Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 5)}{x^2 - 1}$

При $x \neq \pm 1$ можно сократить дробь:

$y = x^2 + 5$.

Графиком функции $y = x^2 + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 5 единиц вверх по оси Oy.

Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Найдем выколотые точки. Функция не определена при $x=1$ и $x=-1$.

При $x=1$: $y = 1^2 + 5 = 6$. Выколотая точка $(1, 6)$.

При $x=-1$: $y = (-1)^2 + 5 = 6$. Выколотая точка $(-1, 6)$.

Строим параболу $y = x^2 + 5$ с вершиной в $(0, 5)$ и выкалываем на ней точки $(1, 6)$ и $(-1, 6)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 5$ с выколотыми точками $(1, 6)$ и $(-1, 6)$.

385. Постройте график функции:

1) $y = \frac{(x+3)^3}{x+3}$;

2) $y = \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{x}$;

3) $y = \frac{x^4 - 1}{1 - x^2}$.

1) $ y = \frac{(x + 3)^3}{x + 3} $

Для построения графика данной функции, сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$ x + 3 \neq 0 $
$ x \neq -3 $
Область определения функции (ОДЗ): $ D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty) $.
Теперь упростим формулу функции, сократив дробь на $ (x+3) $ при условии, что $ x \neq -3 $:
$ y = \frac{(x + 3)^3}{x + 3} = (x + 3)^2 $
Таким образом, нам нужно построить график функции $ y = (x + 3)^2 $ при условии, что $ x \neq -3 $.
Графиком функции $ y = (x + 3)^2 $ является парабола. Это стандартная парабола $ y = x^2 $, смещенная на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $ (-3, 0) $. Ветви параболы направлены вверх.
Так как $ x \neq -3 $, точка на графике, соответствующая этому значению x, должна быть "выколота". Найдем координаты этой точки, подставив $ x = -3 $ в упрощенную функцию:
$ y = (-3 + 3)^2 = 0^2 = 0 $
Следовательно, точка с координатами $ (-3, 0) $ (вершина параболы) не принадлежит графику функции.
Для построения графика найдем несколько точек:
При $ x = -2, y = (-2+3)^2 = 1 $.
При $ x = -4, y = (-4+3)^2 = 1 $.
При $ x = -1, y = (-1+3)^2 = 4 $.
При $ x = -5, y = (-5+3)^2 = 4 $.

Ответ: Графиком функции является парабола $ y = (x+3)^2 $, ветви которой направлены вверх, с выколотой точкой в вершине $ (-3, 0) $.

2) $ y = \frac{x^3 - 6x^2 + 8x}{x} $

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю:
$ x \neq 0 $
ОДЗ: $ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $.
Упростим выражение, вынеся в числителе общий множитель $ x $ за скобки и сократив дробь:
$ y = \frac{x(x^2 - 6x + 8)}{x} = x^2 - 6x + 8 $
Нам нужно построить график параболы $ y = x^2 - 6x + 8 $ с выколотой точкой при $ x = 0 $.
Найдем характеристики параболы:
Ветви направлены вверх, так как коэффициент при $ x^2 $ положителен (равен 1).
Координаты вершины параболы $ (x_0, y_0) $:
$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 $
$ y_0 = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 $
Вершина находится в точке $ (3, -1) $.
Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции), решив уравнение $ x^2 - 6x + 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $. Точки пересечения: $ (2, 0) $ и $ (4, 0) $.
Найдем координаты выколотой точки. Она соответствует значению $ x = 0 $.
$ y = (0)^2 - 6(0) + 8 = 8 $
Таким образом, точка $ (0, 8) $ не принадлежит графику. Эта точка является точкой пересечения параболы $ y = x^2 - 6x + 8 $ с осью Oy.

Ответ: Графиком функции является парабола $ y = x^2 - 6x + 8 $ с вершиной в точке $ (3, -1) $ и выколотой точкой $ (0, 8) $.

3) $ y = \frac{x^4 - 1}{1 - x^2} $

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:
$ 1 - x^2 \neq 0 $
$ x^2 \neq 1 $
$ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.
ОДЗ: $ D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) $.
Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) $
$ 1 - x^2 = -(x^2 - 1) $
Теперь подставим разложенные выражения в функцию и сократим дробь:
$ y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{-(x^2 - 1)} = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1 $
Итак, нам нужно построить график параболы $ y = -x^2 - 1 $ при условиях $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.
График функции $ y = -x^2 - 1 $ — это парабола. Это стандартная парабола $ y = -x^2 $, смещенная на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вниз. Вершина находится в точке $ (0, -1) $.
Найдем координаты выколотых точек:
При $ x = 1 $: $ y = -(1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 $. Выколотая точка $ (1, -2) $.
При $ x = -1 $: $ y = -(-1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 $. Выколотая точка $ (-1, -2) $.

Ответ: Графиком функции является парабола $ y = -x^2 - 1 $ с вершиной в точке $ (0, -1) $ и выколотыми точками $ (1, -2) $ и $ (-1, -2) $.

386. Постройте график функции:

1) $y = x|x|;$

2) $y = \frac{x}{|x|}(x^2 - x - 6);$

3) $y = x^2 - 4|x| + 3;$

4) $y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x - 3|}{x - 3} - 4.$

Для построения графика функции $y = x|x|$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. При $x \ge 0$ модуль $|x|$ равен $x$. Функция принимает вид: $y = x \cdot x = x^2$. Это график параболы с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат. Для нашего графика мы берем только ту часть, где $x \ge 0$, то есть правую ветвь параболы.

Случай 2: $x < 0$. При $x < 0$ модуль $|x|$ равен $-x$. Функция принимает вид: $y = x \cdot (-x) = -x^2$. Это график параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в начале координат. Для нашего графика мы берем только ту часть, где $x < 0$, то есть левую ветвь параболы.

Ответ: График функции $y = x|x|$ состоит из двух частей: правой ветви параболы $y = x^2$ для $x \ge 0$ и левой ветви параболы $y = -x^2$ для $x < 0$. Обе части соединяются в точке $(0, 0)$.

Сначала определим область определения функции. Знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Точка $x=0$ является точкой разрыва. Раскроем модуль $|x|$ для двух случаев.

Случай 1: $x > 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция упрощается до: $y = \frac{x}{x}(x^2 - x - 6) = x^2 - x - 6$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее ключевые точки: Вершина: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$; $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = -6.25$. Координаты вершины $(\frac{1}{2}, -6.25)$. Корни (пересечение с осью Ox): $x^2 - x - 6 = 0$, что дает $(x-3)(x+2)=0$. Корни $x=3$ и $x=-2$. В рассматриваемом промежутке $x > 0$ лежит только корень $x=3$. Поведение в точке разрыва $x=0$: $\lim_{x\to 0^+} (x^2 - x - 6) = -6$. Значит, на графике будет выколотая точка $(0, -6)$.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$, и функция упрощается до: $y = \frac{x}{-x}(x^2 - x - 6) = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$. Координата $x_v$ не входит в промежуток $x < 0$. Корни: $-x^2 + x + 6 = 0$, или $x^2 - x - 6 = 0$. Корни те же: $x=3$ и $x=-2$. В промежутке $x < 0$ лежит только корень $x=-2$. Поведение в точке разрыва $x=0$: $\lim_{x\to 0^-} (-x^2 + x + 6) = 6$. Значит, на графике будет выколотая точка $(0, 6)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ — это часть параболы $y = x^2 - x - 6$ с вершиной в $(\frac{1}{2}, -6.25)$ и выколотой точкой $(0, -6)$. Для $x < 0$ — это часть параболы $y = -x^2 + x + 6$, пересекающая ось Ox в точке $x=-2$ и имеющая выколотую точку $(0, 6)$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = y(x)$, поскольку $x^2 = |x|^2$ и $|-x| = |x|$. График четной функции симметричен относительно оси Oy. Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$; $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Координаты вершины $(2, -1)$. Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y=3$. Точка $(0,3)$. Пересечения с осью Ox: $x^2 - 4x + 3 = 0$, что дает $(x-1)(x-3)=0$. Корни $x=1$ и $x=3$.

Теперь строим эту часть параболы для $x \ge 0$ и отражаем ее относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$. Отраженная часть будет иметь вершину в точке $(-2, -1)$ и пересекать ось Ox в точках $x=-1$ и $x=-3$.

Ответ: График функции — это объединение двух фрагментов парабол, симметричных относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y=x^2-4x+3$ с вершиной $(2,-1)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y=x^2+4x+3$ с вершиной $(-2,-1)$. График имеет характерную форму "W", пересекая ось Oy в точке $(0,3)$.

Область определения функции: $x-3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$. Точка $x=3$ является точкой разрыва. Рассмотрим два случая, раскрывая модуль.

Случай 1: $x > 3$. Тогда $|x-3| = x-3$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3x \cdot \frac{x-3}{x-3} - 4 = x^2 + 3x - 4$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы $x_v = -\frac{3}{2} = -1.5$ не принадлежит интервалу $x > 3$. На этом интервале функция возрастает. На границе области ($x=3$) найдем предел: $\lim_{x\to 3^+} (x^2 + 3x - 4) = 3^2 + 3(3) - 4 = 9+9-4=14$. На графике будет выколотая точка $(3, 14)$.

Случай 2: $x < 3$. Тогда $|x-3| = -(x-3)$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3x \cdot \frac{-(x-3)}{x-3} - 4 = x^2 - 3x - 4$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Эта точка принадлежит интервалу $x < 3$. $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$. Координаты вершины $(1.5, -6.25)$. Корни: $x^2 - 3x - 4 = 0$, или $(x-4)(x+1)=0$. Корни $x=4$ и $x=-1$. В интервале $x<3$ лежит только корень $x=-1$. На границе области ($x=3$) найдем предел: $\lim_{x\to 3^-} (x^2 - 3x - 4) = 3^2 - 3(3) - 4 = 9-9-4=-4$. На графике будет выколотая точка $(3, -4)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол, разделенных в точке $x=3$. При $x < 3$ это парабола $y=x^2-3x-4$ с вершиной в $(1.5, -6.25)$ и выколотой точкой $(3, -4)$. При $x > 3$ это часть параболы $y=x^2+3x-4$, начинающаяся из выколотой точки $(3, 14)$ и уходящая вверх.

387. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3}{|x|} + 4x$;

2) $y = 6|x| - x^2$.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^3}{|x|} + 4x$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Это означает, что на графике в точке с абсциссой $x=0$ будет разрыв (выколотая точка).

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x > 0$
Если $x$ — положительное число, то $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{x^3}{x} + 4x = x^2 + 4x$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины этой параболы: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_v = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(-2, -4)$, но эта точка не входит в рассматриваемый промежуток $x > 0$. Для построения части графика на этом промежутке найдем значения в нескольких точках: - при $x \to 0^+$, $y \to 0$. Точка $(0,0)$ — выколотая. - при $x=1$, $y = 1^2 + 4(1) = 5$. - при $x=2$, $y = 2^2 + 4(2) = 12$. Таким образом, для $x > 0$ график представляет собой часть параболы $y=x^2+4x$, которая начинается из выколотой точки $(0,0)$ и уходит вверх.

Случай 2: $x < 0$
Если $x$ — отрицательное число, то $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{x^3}{-x} + 4x = -x^2 + 4x$. Это также квадратичная функция, но ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$. Эта точка также не входит в рассматриваемый промежуток $x < 0$. Найдем значения в нескольких точках: - при $x \to 0^-$, $y \to 0$. Точка $(0,0)$ — выколотая. - при $x=-1$, $y = -(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 = -5$. - при $x=-2$, $y = -(-2)^2 + 4(-2) = -4 - 8 = -12$. Таким образом, для $x < 0$ график представляет собой часть параболы $y=-x^2+4x$, которая начинается из выколотой точки $(0,0)$ и уходит вниз.

Итог: График функции состоит из двух ветвей парабол, которые "встречаются" в выколотой точке в начале координат.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x > 0$ это часть параболы $y=x^2+4x$, а для $x < 0$ это часть параболы $y=-x^2+4x$. В точке $(0,0)$ функция не определена (выколотая точка).

2) Рассмотрим функцию $y = 6|x| - x^2$.

Эта функция является четной, поскольку $y(-x) = 6|-x| - (-x)^2 = 6|x| - x^2 = y(x)$. Это значит, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Следовательно, мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси $Oy$, чтобы получить полную картину.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 6x - x^2$ или $y = -x^2 + 6x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. $y_v = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$. Вершина находится в точке $(3,9)$, которая принадлежит интервалу $x \ge 0$. Найдем точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$), решив уравнение $y=0$: $-x^2+6x=0 \implies x(-x+6)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=6$. Обе точки находятся в области $x \ge 0$. Итак, для $x \ge 0$ график — это дуга параболы, выходящая из начала координат $(0,0)$, достигающая максимума в точке $(3,9)$ и пересекающая ось $Ox$ снова в точке $(6,0)$.

Построение полного графика
Используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$. - Вершина $(3,9)$ отразится в точку $(-3,9)$. - Точка пересечения $(6,0)$ отразится в точку $(-6,0)$. - Точка $(0,0)$ останется на месте. Для $x < 0$ график будет частью параболы $y=-x^2-6x$ (так как $|x|=-x$), которая также имеет ветви вниз и вершину в точке $(-3,9)$. Полный график состоит из двух симметричных параболических дуг, которые соединяются в точке $(0,0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$ и состоит из двух частей. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y=-x^2+6x$ с вершиной в точке $(3, 9)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y=-x^2-6x$ с вершиной в точке $(-3, 9)$. График пересекает ось $Ox$ в точках $(-6,0)$, $(0,0)$ и $(6,0)$.

388. Постройте график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Используя построенный график, определите, при каких значениях $a$ уравнение $x^2 + 2x - 3 = a$:

1) имеет два корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет корней.

Первым шагом построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Для построения найдем ключевые точки:

• Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
  $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
  $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
  Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.
• Точки пересечения с осями координат.
  С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения — $(0, -3)$.
  С осью Ox (при $y=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.
• Дополнительные точки. Используем ось симметрии $x = -1$. Точка $(0, -3)$ находится на расстоянии 1 вправо от оси симметрии. Значит, симметричная ей точка будет на расстоянии 1 влево от оси, т.е. при $x = -2$. Ее ордината будет такой же: $y = -3$. Получаем точку $(-2, -3)$.

Теперь мы можем построить параболу, проходящую через точки $(-3, 0)$, $(-2, -3)$, $(-1, -4)$, $(0, -3)$, $(1, 0)$.

Далее, рассмотрим уравнение $x^2 + 2x - 3 = a$. Левая часть этого уравнения — это наша функция $y = x^2 + 2x - 3$. Правая часть, $y=a$, — это семейство горизонтальных прямых, параллельных оси Ox.

Количество корней уравнения $x^2 + 2x - 3 = a$ соответствует количеству точек пересечения графика параболы $y = x^2 + 2x - 3$ и прямой $y = a$.

1) имеет два корня;
Уравнение будет иметь два корня, если прямая $y=a$ пересекает параболу в двух точках. Глядя на график, мы видим, что это происходит, когда прямая проходит выше вершины параболы. Минимальное значение функции (координата $y$ вершины) равно -4. Следовательно, для двух точек пересечения необходимо, чтобы $a$ было строго больше -4.

Ответ: $a > -4$

2) имеет один корень;
Уравнение будет иметь один корень, если прямая $y=a$ касается параболы в одной точке. Это возможно только в вершине параболы. Координата $y$ вершины равна -4. Следовательно, при $a = -4$ прямая коснется параболы в ее самой низкой точке.

Ответ: $a = -4$

3) не имеет корней.
Уравнение не будет иметь корней, если прямая $y=a$ не имеет общих точек с параболой. Это происходит, когда прямая расположена ниже вершины параболы. Так как самая низкая точка параболы имеет координату $y=-4$, то при любом значении $a$, которое меньше -4, общих точек не будет.

Ответ: $a < -4$

389. Постройте график функции $y = -x^2 - 4x + 5$. Используя построенный график, определите, сколько корней имеет уравнение $-x^2 - 4x + 5 = a$ в зависимости от значения $a$.

Постройте график функции $y = -x^2 - 4x + 5$.

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем его ключевые точки.

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины $x_в$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2$.

Ордината вершины $y_в$ находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2, 9)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = -0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5$.

Точка пересечения с Oy: $(0, 5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$-x^2 - 4x + 5 = 0$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Точки пересечения с Ox: $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

3. Ось симметрии и дополнительные точки.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -2$.

Точка $(0, 5)$ находится на расстоянии 2 единицы вправо от оси симметрии. Симметричная ей точка будет находиться на расстоянии 2 единицы влево, то есть ее абсцисса будет $x = -2 - 2 = -4$. Координаты симметричной точки: $(-4, 5)$.

Используя найденные точки — вершину $(-2, 9)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и точку $(-4, 5)$, можно построить график.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 4x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 9)$, ветвями, направленными вниз. Парабола пересекает ось ординат в точке $(0, 5)$ и ось абсцисс в точках $(-5, 0)$ и $(1, 0)$.

Используя построенный график, определите, сколько корней имеет уравнение $-x^2 - 4x + 5 = a$ в зависимости от значения $a$.

Количество корней уравнения $-x^2 - 4x + 5 = a$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y = -x^2 - 4x + 5$ и горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = -x^2 - 4x + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(-2, 9)$. Максимальное значение функции равно 9.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$:

1. Если прямая $y=a$ расположена выше вершины параболы, то есть при $a > 9$, у них нет общих точек. Это означает, что уравнение не имеет корней.

2. Если прямая $y=a$ касается параболы в ее вершине, то есть при $a = 9$, у них есть ровно одна общая точка. Это означает, что уравнение имеет один корень.

3. Если прямая $y=a$ расположена ниже вершины параболы, то есть при $a < 9$, она пересекает параболу в двух точках. Это означает, что уравнение имеет два корня.

Ответ: Уравнение $-x^2 - 4x + 5 = a$ в зависимости от значения $a$ имеет:
- нет корней при $a > 9$;
- один корень при $a = 9$;
- два корня при $a < 9$.

390. Пусть $x_1$ и $x_2$ — нули функции $y = -3x^2 - (3a - 2)x + 2a + 3$. При каких значениях $a$ выполняется неравенство $x_1 < -2 < x_2$?

Пусть $f(x) = -3x^2 - (3a-2)x + 2a + 3$. По условию, $x_1$ и $x_2$ являются нулями этой функции, то есть корнями квадратного уравнения $-3x^2 - (3a-2)x + 2a + 3 = 0$.

Требуется найти значения параметра $a$, при которых выполняется неравенство $x_1 < -2 < x_2$. Это означает, что число $-2$ должно находиться строго между корнями квадратного трехчлена.

Графиком функции $y = f(x)$ является парабола. Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $-3$. Так как этот коэффициент отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Для того чтобы число $-2$ лежало между корнями параболы, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно, чтобы значение функции в этой точке было положительным. То есть, должно выполняться неравенство $f(-2) > 0$. Это условие гарантирует, что парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках (так как, имея отрицательные бесконечные ветви, она должна где-то достичь положительного значения, а значит, и пересечь ось $Ox$), и что точка с абсциссой $-2$ находится между этими пересечениями.

Вычислим значение функции $f(x)$ в точке $x = -2$:

$f(-2) = -3(-2)^2 - (3a - 2)(-2) + 2a + 3$

$f(-2) = -3 \cdot 4 + (3a - 2) \cdot 2 + 2a + 3$

$f(-2) = -12 + 6a - 4 + 2a + 3$

Приводя подобные слагаемые, получаем:

$f(-2) = (6a + 2a) + (-12 - 4 + 3) = 8a - 13$

Теперь решим неравенство $f(-2) > 0$:

$8a - 13 > 0$

$8a > 13$

$a > \frac{13}{8}$

Следовательно, условие задачи выполняется при всех значениях $a$, больших $\frac{13}{8}$.

Ответ: $a > \frac{13}{8}$ или $a \in (\frac{13}{8}; +\infty)$.

391. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – нули функции $y=2x^2-(3a-1)x+a-4$, $x_1 < x_2$.

При каких значениях $a$ число 1 принадлежит промежутку $[x_1; x_2]$?

Дана функция $y = 2x^2 - (3a-1)x + a - 4$. Ее нули $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $2x^2 - (3a-1)x + a - 4 = 0$.

Графиком данной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля, ветви параболы направлены вверх.

Условие, что число 1 принадлежит промежутку $[x_1; x_2]$ (где $x_1 < x_2$), означает, что точка с абсциссой $x=1$ находится между корнями параболы или совпадает с одним из них. Для параболы с ветвями вверх это геометрически означает, что значение функции в этой точке должно быть неположительным (меньше или равно нулю).

Таким образом, задача сводится к решению неравенства $y(1) \le 0$.

Подставим $x=1$ в уравнение функции:
$y(1) = 2 \cdot 1^2 - (3a-1) \cdot 1 + a - 4$
$y(1) = 2 - (3a-1) + a - 4$
$y(1) = 2 - 3a + 1 + a - 4$
$y(1) = -2a - 1$

Теперь решим неравенство:
$-2a - 1 \le 0$
$-1 \le 2a$
$a \ge -\frac{1}{2}$

Дополнительно убедимся, что при любых значениях $a$ у функции есть действительные корни. Для этого дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = (-(3a-1))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a-4) = (3a-1)^2 - 8(a-4)$
$D = 9a^2 - 6a + 1 - 8a + 32 = 9a^2 - 14a + 33$
Рассмотрим выражение $9a^2 - 14a + 33$ как квадратичную функцию от $a$. Ее дискриминант $D_a = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 33 = 196 - 1188 = -992$.
Поскольку $D_a < 0$ и коэффициент при $a^2$ (равный 9) положителен, выражение $9a^2 - 14a + 33$ всегда положительно. Следовательно, исходный дискриминант $D$ всегда больше нуля. Это значит, что при любом значении параметра $a$ функция имеет два различных действительных корня.

Таким образом, единственным условием является $a \ge -1/2$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{2}; +\infty)$.

392. Решите уравнение:

1) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 - 6 = 0;$

3) $x^4 + 9x^2 + 8 = 0;$

4) $x^4 - 16x^2 = 0.$

1) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставив $y$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 13y + 36 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = 9$.

$y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = 4$.

Оба найденных значения для $y$ (9 и 4) являются положительными, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Если $x^2 = 9$, то $x = \pm\sqrt{9}$, что дает нам корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. Если $x^2 = 4$, то $x = \pm\sqrt{4}$, что дает нам корни $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -2; 2; 3$.

2) $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 5y - 6 = 0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1$.

Проверяем условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 6$ удовлетворяет условию. Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $x^2$ не может быть отрицательным, поэтому этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для $y = 6$:

$x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

3) $x^4 + 9x^2 + 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 + 9y + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $8$. Корнями являются $y_1 = -1$ и $y_2 = -8$.

Можно также найти корни через дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 + 7}{2} = -1$.

$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 - 7}{2} = -8$.

Оба корня для $y$ отрицательны. Так как по условию замены $y = x^2 \ge 0$, то ни один из найденных корней не подходит.

Следовательно, уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -8$ не имеют действительных решений.

Ответ: корней нет.

4) $x^4 - 16x^2 = 0$

Это неполное биквадратное уравнение. Его можно решить разложением на множители.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 16) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.

2. $x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов: $(x-4)(x+4)=0$. Отсюда $x_2 = 4$ и $x_3 = -4$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-4; 0; 4$.

393. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

1) $x^2 - 5x - 10 = 0;$

2) $2x^2 + 6x - 7 = 0;$

3) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x - 1 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, если у уравнения есть действительные корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение равны:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Предварительно для каждого уравнения проверим наличие действительных корней с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Корни существуют, если $D \ge 0$.

1) $x^2 - 5x - 10 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициенты $a = 1$, $b = -5$, $c = -10$.
Проверим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 25 + 40 = 65$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{1} = -10$.
Ответ: сумма корней 5, произведение -10.

2) $2x^2 + 6x - 7 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = 6$, $c = -7$.
Проверим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 36 + 56 = 92$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{2} = -3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{2} = -3.5$.
Ответ: сумма корней -3, произведение -3,5.

3) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = -\frac{1}{3}$, $b = 8$, $c = -1$.
Для удобства умножим обе части уравнения на -3. Корни уравнения при этом не изменятся.
$(-\frac{1}{3}x^2 + 8x - 1) \cdot (-3) = 0 \cdot (-3)$, что дает $x^2 - 24x + 3 = 0$.
Теперь мы имеем приведённое уравнение с коэффициентами $a' = 1$, $b' = -24$, $c' = 3$.
Проверим дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 576 - 12 = 564$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Применим теорему Виета к преобразованному уравнению:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b'}{a'} = -\frac{-24}{1} = 24$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c'}{a'} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: сумма корней 24, произведение 3.