Номер 387, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

387. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3}{|x|} + 4x$;

2) $y = 6|x| - x^2$.

1) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^3}{|x|} + 4x$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Это означает, что на графике в точке с абсциссой $x=0$ будет разрыв (выколотая точка).

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x > 0$
Если $x$ — положительное число, то $|x| = x$. Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{x^3}{x} + 4x = x^2 + 4x$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины этой параболы: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_v = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(-2, -4)$, но эта точка не входит в рассматриваемый промежуток $x > 0$. Для построения части графика на этом промежутке найдем значения в нескольких точках: - при $x \to 0^+$, $y \to 0$. Точка $(0,0)$ — выколотая. - при $x=1$, $y = 1^2 + 4(1) = 5$. - при $x=2$, $y = 2^2 + 4(2) = 12$. Таким образом, для $x > 0$ график представляет собой часть параболы $y=x^2+4x$, которая начинается из выколотой точки $(0,0)$ и уходит вверх.

Случай 2: $x < 0$
Если $x$ — отрицательное число, то $|x| = -x$. Подставим это в исходное уравнение: $y = \frac{x^3}{-x} + 4x = -x^2 + 4x$. Это также квадратичная функция, но ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты вершины: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$. Эта точка также не входит в рассматриваемый промежуток $x < 0$. Найдем значения в нескольких точках: - при $x \to 0^-$, $y \to 0$. Точка $(0,0)$ — выколотая. - при $x=-1$, $y = -(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 = -5$. - при $x=-2$, $y = -(-2)^2 + 4(-2) = -4 - 8 = -12$. Таким образом, для $x < 0$ график представляет собой часть параболы $y=-x^2+4x$, которая начинается из выколотой точки $(0,0)$ и уходит вниз.

Итог: График функции состоит из двух ветвей парабол, которые "встречаются" в выколотой точке в начале координат.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x > 0$ это часть параболы $y=x^2+4x$, а для $x < 0$ это часть параболы $y=-x^2+4x$. В точке $(0,0)$ функция не определена (выколотая точка).

2) Рассмотрим функцию $y = 6|x| - x^2$.

Эта функция является четной, поскольку $y(-x) = 6|-x| - (-x)^2 = 6|x| - x^2 = y(x)$. Это значит, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Следовательно, мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси $Oy$, чтобы получить полную картину.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 6x - x^2$ или $y = -x^2 + 6x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$. $y_v = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$. Вершина находится в точке $(3,9)$, которая принадлежит интервалу $x \ge 0$. Найдем точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$), решив уравнение $y=0$: $-x^2+6x=0 \implies x(-x+6)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=6$. Обе точки находятся в области $x \ge 0$. Итак, для $x \ge 0$ график — это дуга параболы, выходящая из начала координат $(0,0)$, достигающая максимума в точке $(3,9)$ и пересекающая ось $Ox$ снова в точке $(6,0)$.

Построение полного графика
Используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$. - Вершина $(3,9)$ отразится в точку $(-3,9)$. - Точка пересечения $(6,0)$ отразится в точку $(-6,0)$. - Точка $(0,0)$ останется на месте. Для $x < 0$ график будет частью параболы $y=-x^2-6x$ (так как $|x|=-x$), которая также имеет ветви вниз и вершину в точке $(-3,9)$. Полный график состоит из двух симметричных параболических дуг, которые соединяются в точке $(0,0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси $Oy$ и состоит из двух частей. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y=-x^2+6x$ с вершиной в точке $(3, 9)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y=-x^2-6x$ с вершиной в точке $(-3, 9)$. График пересекает ось $Ox$ в точках $(-6,0)$, $(0,0)$ и $(6,0)$.