Номер 382, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

382. Сумма двух чисел равна 10. Найдите:

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

Пусть два числа — это $x$ и $y$. Согласно условию, их сумма равна 10, то есть $x + y = 10$. Необходимо найти наибольшее значение их произведения $P = xy$.

Выразим одну переменную через другую, например, $y = 10 - x$. Подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию от одной переменной:

$P(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

Функция $P(x) = -x^2 + 10x$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$). Это означает, что функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находят по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 10$.

$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$

Таким образом, максимальное значение произведение принимает при $x = 5$. Второе число $y$ будет равно $10 - 5 = 5$.

Наибольшее значение произведения составляет:

$P_{max} = 5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 25

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Теперь необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов этих же чисел, $S = x^2 + y^2$.

Используем ту же подстановку $y = 10 - x$:

$S(x) = x^2 + (10 - x)^2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратичную функцию от $x$:

$S(x) = x^2 + (100 - 20x + x^2) = 2x^2 - 20x + 100$

Графиком функции $S(x)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный ($2$). Следовательно, функция достигает своего наименьшего значения в вершине параболы.

Найдём абсциссу вершины. Здесь $a = 2$ и $b = -20$.

$x_0 = -\frac{-20}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

Наименьшее значение суммы квадратов достигается при $x = 5$ и, соответственно, $y = 10 - 5 = 5$.

Вычислим это наименьшее значение:

$S_{min} = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$

Ответ: 50