Номер 380, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

380. Найдите ординату вершины параболы, фрагмент которой изображён на рисунке 66.

380.

а) На графике параболы (Рис. 66а) видны две точки пересечения с осью абсцисс (корни): $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. Поэтому абсцисса вершины $x_в$ находится как среднее арифметическое корней:
$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 1}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5$.
Уравнение параболы можно записать через ее корни: $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, что в нашем случае дает $y = a(x + 4)(x - 1)$.
Чтобы найти коэффициент $a$, используем еще одну точку с графика, например, $(0; -2)$. Подставим ее координаты:
$-2 = a(0 + 4)(0 - 1)$
$-2 = a \cdot 4 \cdot (-1)$
$-2 = -4a$
$a = 0,5$.
Итак, уравнение параболы: $y = 0,5(x + 4)(x - 1)$.
Теперь найдем ординату вершины $y_в$, подставив в уравнение $x_в = -1,5$:
$y_в = 0,5(-1,5 + 4)(-1,5 - 1) = 0,5 \cdot 2,5 \cdot (-2,5) = 0,5 \cdot (-6,25) = -3,125$.
Ответ: -3,125

б) На графике (Рис. 66б) парабола пересекает ось абсцисс в точках $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Найдем абсциссу вершины $x_в$:
$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Уравнение параболы имеет вид $y = a(x - 1)(x - 5)$. Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся точкой с графика, например, $(2; 3)$. Подставим ее координаты:
$3 = a(2 - 1)(2 - 5)$
$3 = a \cdot 1 \cdot (-3)$
$3 = -3a$
$a = -1$.
Уравнение параболы: $y = -(x - 1)(x - 5)$.
Найдем ординату вершины, подставив $x_в = 3$:
$y_в = -(3 - 1)(3 - 5) = -(2)(-2) = 4$.
Ответ: 4

381.

На графике (Рис. 67) вершина параболы является ее самой нижней точкой. Координаты этой точки можно определить непосредственно с графика: $(1; 0)$.
Ордината вершины — это ее координата по оси $y$. В данном случае она равна 0.
Для проверки можно составить уравнение параболы. Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_в; y_в)$ имеет вид $y = a(x - x_в)^2 + y_в$. Подставляя координаты вершины $(1; 0)$, получаем $y = a(x - 1)^2$.
Возьмем с графика другую точку, например, $(0; 1)$, и подставим ее в уравнение: $1 = a(0 - 1)^2$, откуда $a=1$.
Таким образом, уравнение параболы $y = (x - 1)^2$, и ордината ее вершины $y_в = 0$.
Ответ: 0