Номер 386, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

386. Постройте график функции:

1) $y = x|x|;$

2) $y = \frac{x}{|x|}(x^2 - x - 6);$

3) $y = x^2 - 4|x| + 3;$

4) $y = x^2 + 3x \cdot \frac{|x - 3|}{x - 3} - 4.$

Для построения графика функции $y = x|x|$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. При $x \ge 0$ модуль $|x|$ равен $x$. Функция принимает вид: $y = x \cdot x = x^2$. Это график параболы с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат. Для нашего графика мы берем только ту часть, где $x \ge 0$, то есть правую ветвь параболы.

Случай 2: $x < 0$. При $x < 0$ модуль $|x|$ равен $-x$. Функция принимает вид: $y = x \cdot (-x) = -x^2$. Это график параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в начале координат. Для нашего графика мы берем только ту часть, где $x < 0$, то есть левую ветвь параболы.

Ответ: График функции $y = x|x|$ состоит из двух частей: правой ветви параболы $y = x^2$ для $x \ge 0$ и левой ветви параболы $y = -x^2$ для $x < 0$. Обе части соединяются в точке $(0, 0)$.

Сначала определим область определения функции. Знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Точка $x=0$ является точкой разрыва. Раскроем модуль $|x|$ для двух случаев.

Случай 1: $x > 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция упрощается до: $y = \frac{x}{x}(x^2 - x - 6) = x^2 - x - 6$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее ключевые точки: Вершина: $x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$; $y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = -6.25$. Координаты вершины $(\frac{1}{2}, -6.25)$. Корни (пересечение с осью Ox): $x^2 - x - 6 = 0$, что дает $(x-3)(x+2)=0$. Корни $x=3$ и $x=-2$. В рассматриваемом промежутке $x > 0$ лежит только корень $x=3$. Поведение в точке разрыва $x=0$: $\lim_{x\to 0^+} (x^2 - x - 6) = -6$. Значит, на графике будет выколотая точка $(0, -6)$.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$, и функция упрощается до: $y = \frac{x}{-x}(x^2 - x - 6) = -(x^2 - x - 6) = -x^2 + x + 6$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$. Координата $x_v$ не входит в промежуток $x < 0$. Корни: $-x^2 + x + 6 = 0$, или $x^2 - x - 6 = 0$. Корни те же: $x=3$ и $x=-2$. В промежутке $x < 0$ лежит только корень $x=-2$. Поведение в точке разрыва $x=0$: $\lim_{x\to 0^-} (-x^2 + x + 6) = 6$. Значит, на графике будет выколотая точка $(0, 6)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ — это часть параболы $y = x^2 - x - 6$ с вершиной в $(\frac{1}{2}, -6.25)$ и выколотой точкой $(0, -6)$. Для $x < 0$ — это часть параболы $y = -x^2 + x + 6$, пересекающая ось Ox в точке $x=-2$ и имеющая выколотую точку $(0, 6)$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3 = y(x)$, поскольку $x^2 = |x|^2$ и $|-x| = |x|$. График четной функции симметричен относительно оси Oy. Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$; $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Координаты вершины $(2, -1)$. Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y=3$. Точка $(0,3)$. Пересечения с осью Ox: $x^2 - 4x + 3 = 0$, что дает $(x-1)(x-3)=0$. Корни $x=1$ и $x=3$.

Теперь строим эту часть параболы для $x \ge 0$ и отражаем ее относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$. Отраженная часть будет иметь вершину в точке $(-2, -1)$ и пересекать ось Ox в точках $x=-1$ и $x=-3$.

Ответ: График функции — это объединение двух фрагментов парабол, симметричных относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y=x^2-4x+3$ с вершиной $(2,-1)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y=x^2+4x+3$ с вершиной $(-2,-1)$. График имеет характерную форму "W", пересекая ось Oy в точке $(0,3)$.

Область определения функции: $x-3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$. Точка $x=3$ является точкой разрыва. Рассмотрим два случая, раскрывая модуль.

Случай 1: $x > 3$. Тогда $|x-3| = x-3$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3x \cdot \frac{x-3}{x-3} - 4 = x^2 + 3x - 4$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы $x_v = -\frac{3}{2} = -1.5$ не принадлежит интервалу $x > 3$. На этом интервале функция возрастает. На границе области ($x=3$) найдем предел: $\lim_{x\to 3^+} (x^2 + 3x - 4) = 3^2 + 3(3) - 4 = 9+9-4=14$. На графике будет выколотая точка $(3, 14)$.

Случай 2: $x < 3$. Тогда $|x-3| = -(x-3)$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3x \cdot \frac{-(x-3)}{x-3} - 4 = x^2 - 3x - 4$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$. Эта точка принадлежит интервалу $x < 3$. $y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$. Координаты вершины $(1.5, -6.25)$. Корни: $x^2 - 3x - 4 = 0$, или $(x-4)(x+1)=0$. Корни $x=4$ и $x=-1$. В интервале $x<3$ лежит только корень $x=-1$. На границе области ($x=3$) найдем предел: $\lim_{x\to 3^-} (x^2 - 3x - 4) = 3^2 - 3(3) - 4 = 9-9-4=-4$. На графике будет выколотая точка $(3, -4)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол, разделенных в точке $x=3$. При $x < 3$ это парабола $y=x^2-3x-4$ с вершиной в $(1.5, -6.25)$ и выколотой точкой $(3, -4)$. При $x > 3$ это часть параболы $y=x^2+3x-4$, начинающаяся из выколотой точки $(3, 14)$ и уходящая вверх.