Номер 393, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

393. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

1) $x^2 - 5x - 10 = 0;$

2) $2x^2 + 6x - 7 = 0;$

3) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x - 1 = 0.$

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, если у уравнения есть действительные корни $x_1$ и $x_2$, то их сумма и произведение равны:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Предварительно для каждого уравнения проверим наличие действительных корней с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Корни существуют, если $D \ge 0$.

1) $x^2 - 5x - 10 = 0$

Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициенты $a = 1$, $b = -5$, $c = -10$.
Проверим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 25 + 40 = 65$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-10}{1} = -10$.
Ответ: сумма корней 5, произведение -10.

2) $2x^2 + 6x - 7 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = 6$, $c = -7$.
Проверим дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 36 + 56 = 92$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
По теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{2} = -3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-7}{2} = -3.5$.
Ответ: сумма корней -3, произведение -3,5.

3) $-\frac{1}{3}x^2 + 8x - 1 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = -\frac{1}{3}$, $b = 8$, $c = -1$.
Для удобства умножим обе части уравнения на -3. Корни уравнения при этом не изменятся.
$(-\frac{1}{3}x^2 + 8x - 1) \cdot (-3) = 0 \cdot (-3)$, что дает $x^2 - 24x + 3 = 0$.
Теперь мы имеем приведённое уравнение с коэффициентами $a' = 1$, $b' = -24$, $c' = 3$.
Проверим дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 576 - 12 = 564$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Применим теорему Виета к преобразованному уравнению:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b'}{a'} = -\frac{-24}{1} = 24$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c'}{a'} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: сумма корней 24, произведение 3.