Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Постройте график функции:

1) $y = |x - 3|$;

2) $y = |x^2 - 4x|$;

3) $y = |x^2 + 2x - 3|$;

4) $y = |2x - x^2|$;

5) $y = \left|\frac{4}{x} - 2\right|$;

6) $y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|$.

1) $y = |x - 3|$

Для построения графика функции $y = |x - 3|$, сначала построим график базовой функции $y = x - 3$. Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения:
- Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
- Если $y = 0$, то $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$. Точка $(3, 0)$.
Теперь применим операцию взятия модуля. По определению модуля, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$. Это означает, что часть графика функции $y = x - 3$, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), должна быть симметрично отражена относительно этой оси, а часть, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остается без изменений.
- При $x \ge 3$, выражение $x - 3 \ge 0$, поэтому $y = |x - 3| = x - 3$. График совпадает с прямой $y = x - 3$.
- При $x < 3$, выражение $x - 3 < 0$, поэтому $y = |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$. Эта часть графика является отражением луча прямой $y = x-3$ для $x < 3$ относительно оси Ox.
Точка "излома" графика находится там, где подмодульное выражение равно нулю: $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Координаты этой точки $(3, 0)$.

Ответ: График представляет собой две прямые (два луча), выходящие из точки $(3, 0)$. Один луч идет вправо и вверх по уравнению $y = x - 3$ (для $x \ge 3$), второй — влево и вверх по уравнению $y = -x + 3$ (для $x < 3$). График напоминает букву "V" с вершиной в точке $(3, 0)$.

2) $y = |x^2 - 4x|$

Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
1. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox):
$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
2. Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_в = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$.
Парабола $y = x^2 - 4x$ проходит через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$ и имеет вершину в $(2, -4)$.
Теперь применим модуль. Часть графика, расположенная ниже оси Ox, отражается симметрично вверх относительно этой оси.
- На интервалах $(-\infty, 0]$ и $[4, \infty)$ функция $x^2 - 4x \ge 0$, поэтому график $y = |x^2 - 4x|$ совпадает с графиком $y = x^2 - 4x$.
- На интервале $(0, 4)$ функция $x^2 - 4x < 0$. В этой области график отражается относительно оси Ox. Таким образом, мы строим график функции $y = -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x$. Вершина этой части графика будет в точке $(2, -(-4)) = (2, 4)$.

Ответ: График состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 4x$ на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, \infty)$, и отраженной части этой параболы (графика функции $y = -x^2 + 4x$) на промежутке $(0, 4)$. В итоге получается фигура, состоящая из двух ветвей параболы, идущих вверх из точек $(0,0)$ и $(4,0)$, и арки параболы между этими точками с вершиной в $(2, 4)$.

3) $y = |x^2 + 2x - 3|$

Строим график параболы $y = x^2 + 2x - 3$. Ветви направлены вверх.
1. Нули функции:
$x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Точки пересечения с Ox: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.
2. Координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина: $(-1, -4)$.
3. Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ проходит через точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$, имеет вершину в $(-1, -4)$.
Применяем модуль: часть графика, где $y < 0$ (между корнями $x=-3$ и $x=1$), отражается относительно оси Ox.
- На интервалах $(-\infty, -3]$ и $[1, \infty)$ функция $x^2 + 2x - 3 \ge 0$, график $y = |x^2 + 2x - 3|$ совпадает с $y = x^2 + 2x - 3$.
- На интервале $(-3, 1)$ функция $x^2 + 2x - 3 < 0$, график отражается. Мы строим график $y = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$. Вершина этой части графика будет в точке $(-1, -(-4)) = (-1, 4)$, а точка пересечения с Oy будет $(0, 3)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей параболы $y=x^2 + 2x - 3$, идущих вверх из точек $(-3,0)$ и $(1,0)$, и арки параболы между этими точками с вершиной в $(-1, 4)$.

4) $y = |2x - x^2|$

Заметим, что $|2x - x^2| = |-(x^2 - 2x)| = |x^2 - 2x|$.
Сначала построим параболу $y = 2x - x^2$. Ветви направлены вниз.
1. Нули функции:
$2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Точки пересечения с Ox: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
2. Координаты вершины:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_в = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$. Вершина: $(1, 1)$.
Парабола $y = 2x - x^2$ имеет вершину в $(1, 1)$ и пересекает ось Ox в точках $(0,0)$ и $(2,0)$.
Применяем модуль. Часть графика, где $y < 0$, отражается относительно оси Ox.
- На интервале $(0, 2)$ функция $2x - x^2 > 0$, поэтому график $y = |2x - x^2|$ совпадает с $y = 2x - x^2$. Эта часть графика уже находится выше оси Ox.
- На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$ функция $2x - x^2 < 0$. В этих областях график отражается относительно оси Ox. Мы строим график $y = -(2x - x^2) = x^2 - 2x$.

Ответ: График имеет форму, похожую на букву "W". Он состоит из арки параболы $y = 2x - x^2$ на отрезке $[0, 2]$ с вершиной в $(1, 1)$, и двух ветвей параболы $y = x^2 - 2x$ на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$.

5) $y = \left|\frac{4}{x} - 2\right|$

Сначала построим график функции $y = \frac{4}{x} - 2$. Это гипербола $y = \frac{4}{x}$, смещенная на 2 единицы вниз.
1. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (знаменатель не может быть равен нулю).
- Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $\frac{4}{x} \to 0$, поэтому $y \to -2$. Асимптота $y = -2$.
2. Точка пересечения с осью Ox:
$\frac{4}{x} - 2 = 0 \implies \frac{4}{x} = 2 \implies x = 2$. Точка $(2, 0)$.
3. Поведение графика $y = \frac{4}{x} - 2$:
- При $x > 0$, ветвь гиперболы идет из $+\infty$ (при $x \to 0+$), пересекает ось Ox в точке $(2, 0)$ и приближается к асимптоте $y = -2$ снизу. - При $x < 0$, ветвь гиперболы приближается к асимптоте $y = -2$ сверху (при $x \to -\infty$) и уходит в $-\infty$ (при $x \to 0-$).
Теперь применяем модуль. Части графика ниже оси Ox отражаются вверх.
- Часть графика на интервале $(0, 2]$ уже находится выше или на оси Ox, она остается без изменений.
- Части графика на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, \infty)$ находятся ниже оси Ox, их нужно отразить. Горизонтальная асимптота $y = -2$ для этих частей также отражается и становится $y = 2$.

Ответ: График имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ и горизонтальную асимптоту $y = 2$.
- При $x \to 0+$ и $x \to 0-$, $y \to +\infty$.
- На интервале $(0, \infty)$ график сначала спускается из $+\infty$ до точки $(2, 0)$, а затем снова поднимается, приближаясь к асимптоте $y=2$ снизу.
- На интервале $(-\infty, 0)$ график спускается от асимптоты $y=2$ (при $x \to -\infty$) и уходит вверх к $+\infty$ при приближении к $x=0-$.
В точке $(2, 0)$ график имеет "излом".

6) $y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|$

Поскольку числитель $4$ всегда положителен, то $\left|\frac{4}{x - 2}\right| = \frac{|4|}{|x - 2|} = \frac{4}{|x - 2|}$.
Построим график, исходя из преобразований графика $y = \frac{4}{x-2}$.
1. Строим график $y = \frac{4}{x - 2}$. Это гипербола $y = \frac{4}{x}$, смещенная на 2 единицы вправо.
- Вертикальная асимптота: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).
2. Поведение графика:
- При $x > 2$, выражение $x - 2 > 0$, поэтому $y > 0$. Вся эта ветвь гиперболы лежит выше оси Ox.
- При $x < 2$, выражение $x - 2 < 0$, поэтому $y < 0$. Вся эта ветвь гиперболы лежит ниже оси Ox.
- Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{4}{0 - 2} = -2$. Точка $(0, -2)$.
Теперь применяем модуль. Часть графика ниже оси Ox (где $x < 2$) отражается вверх.
- Ветвь при $x > 2$ остается на месте.
- Ветвь при $x < 2$ отражается относительно оси Ox. Точка $(0, -2)$ переходит в $(0, 2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в верхней полуплоскости.
- Вертикальная асимптота: $x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).
- Обе ветви приближаются к оси Ox при $x \to \pm\infty$ и уходят в $+\infty$ при $x \to 2$ с обеих сторон. График симметричен относительно прямой $x = 2$. Проходит через точки, например, $(0, 2)$ и $(4, 2)$.

4. Постройте график функции:

1) $y = \left| \left|x\right| - 3 \right|$;

2) $y = \left|x^2 - 4\left|x\right|\right|$;

3) $y = \left|x^2 + 2\left|x\right| - 3\right|$;

4) $y = \left|2\left|x\right| - x^2\right|$;

5) $y = \left|\frac{4}{\left|x\right|} - 2\right|$;

6) $y = \left|\frac{4}{\left|x\right| - 2}\right|$.

Для построения графиков функций, содержащих модуль, удобно использовать метод последовательных преобразований. Общая схема для функций вида $y = |f(|x|)|$ такова:

1. Строится график базовой функции $y = f(x)$.
2. Строится график функции $y = f(|x|)$. Для этого часть графика $y=f(x)$, находящаяся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), оставляется без изменений, а часть в левой полуплоскости ($x < 0$) заменяется симметричным отражением правой части относительно оси Oy.
3. Строится график функции $y = |f(|x|)|$. Для этого часть графика $y=f(|x|)$, находящаяся ниже оси Ox ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox, а остальная часть графика остается без изменений.

Построение графика будем выполнять в несколько шагов.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x - 3$.

Это прямая линия. Найдем две точки для ее построения: при $x=0$, $y=-3$; при $x=3$, $y=0$. Точки: $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = |x| - 3$.

Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(x)=x-3$. Часть графика $y=x-3$ для $x \ge 0$ (луч, выходящий из точки $(0,-3)$ и проходящий через $(3,0)$) оставляем без изменений. Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Получим график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, -3)$ и проходящих через точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$. Это "галочка", вершина которой находится в точке $(0, -3)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = ||x| - 3|$.

Это функция вида $y = |g(x)|$, где $g(x)=|x|-3$. Часть графика $y = |x| - 3$, которая находится над осью Ox или на ней (при $|x| \ge 3$), остается без изменений. Часть графика, которая находится под осью Ox (при $|x| < 3$, это отрезок, соединяющий точки $(-3,0)$ и $(3,0)$ с вершиной в $(0,-3)$), отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина $(0, -3)$ переходит в точку $(0, 3)$.

Ответ: График имеет форму буквы "W". Он состоит из луча $y=-x-3$ для $x \le -3$, отрезка $y=x+3$ для $-3 \le x \le 0$, отрезка $y=-x+3$ для $0 \le x \le 3$ и луча $y=x-3$ для $x \ge 3$. Ключевые точки: $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, 0)$.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому функцию можно записать как $y = ||x|^2 - 4|x||$. Это функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = x^2 - 4x$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x^2 - 4x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. $y_v = 2^2 - 4(2) = -4$. Вершина: $(2, -4)$. Корни уравнения $x^2 - 4x = 0$ — это $x=0$ и $x=4$. График пересекает ось Ox в точках $(0,0)$ и $(4,0)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = x^2 - 4|x|$.

Часть параболы $y = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$ (часть, проходящая через $(0,0)$, с вершиной в $(2,-4)$ и пересекающая ось в $(4,0)$) оставляем без изменений. Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Получим симметричный график с двумя вершинами: $(2, -4)$ и $(-2, -4)$. График пересекает ось Ox в точках $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |x^2 - 4|x||$.

Части графика $y = x^2 - 4|x|$, которые находятся ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно оси Ox. Это участки парабол между $x=-4$ и $x=0$, и между $x=0$ и $x=4$. Вершины $(2, -4)$ и $(-2, -4)$ переходят в точки $(2, 4)$ и $(-2, 4)$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух параболических ветвей для $|x| \ge 4$ и двух параболических "холмов" для $|x| \le 4$. Ключевые точки: пересечение с осями в $(-4, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$; локальные максимумы в $(-2, 4)$ и $(2, 4)$; локальный минимум (точка излома) в $(0, 0)$.

Функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = x^2 + 2x - 3$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x^2 + 2x - 3$.

Это парабола, ветви вверх. Вершина: $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4$. Вершина: $(-1, -4)$. Корни уравнения $(x+3)(x-1)=0$ — это $x=-3$ и $x=1$. Пересечение с осью Oy: $(0, -3)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = x^2 + 2|x| - 3$.

Часть параболы для $x \ge 0$ (проходит через $(0, -3)$ и $(1,0)$) оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. Полученный график симметричен, имеет минимум в точке $(0, -3)$ и пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |x^2 + 2|x| - 3|$.

Часть графика $y = x^2 + 2|x| - 3$, лежащую ниже оси Ox (участок между $x=-1$ и $x=1$ с минимумом в $(0,-3)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Минимальная точка $(0, -3)$ переходит в максимальную $(0, 3)$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух параболических ветвей для $|x| \ge 1$ и параболического "холма" для $|x| \le 1$. Ключевые точки: пересечение с осью Ox в $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ (это точки излома); локальный максимум в $(0, 3)$.

Заметим, что $|A - B| = |B - A|$, поэтому $y = |2|x| - x^2| = |x^2 - 2|x||$. Это функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = x^2 - 2x$. Задача аналогична номеру 2.

Шаг 1: Построение графика функции $y = x^2 - 2x$.

Парабола, ветви вверх. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина: $(1, -1)$. Корни: $x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = x^2 - 2|x|$.

Часть параболы для $x \ge 0$ оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. Получим график с двумя вершинами: $(1, -1)$ и $(-1, -1)$. Пересечение с осью Ox в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |x^2 - 2|x||$.

Отражаем части графика, лежащие ниже оси Ox (участки между $x=-2$ и $x=0$, и между $x=0$ и $x=2$). Вершины $(1, -1)$ и $(-1, -1)$ переходят в точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: График, похожий на результат из пункта 2. Симметричен относительно оси Oy. Пересекает оси в точках $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$. Имеет локальные максимумы в $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, и локальный минимум (точка излома) в $(0, 0)$.

Функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = \frac{4}{x} - 2$. Область определения: $x \ne 0$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = \frac{4}{x} - 2$.

Это гипербола $y=4/x$, смещенная на 2 единицы вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=-2$. График пересекает ось Ox в точке, где $\frac{4}{x}-2=0 \Rightarrow x=2$. Точка $(2,0)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = \frac{4}{|x|} - 2$.

Часть графика для $x > 0$ оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. График симметричен. Вертикальная асимптота $x=0$. Горизонтальная асимптота $y=-2$. Пересечение с осью Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |\frac{4}{|x|} - 2|$.

Часть графика $y = \frac{4}{|x|} - 2$, лежащую ниже оси Ox, отражаем симметрично. Ниже оси Ox находится часть графика при $|x|>2$. Горизонтальная асимптота $y=-2$ для этой части графика отражается в $y=2$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Вертикальная асимптота $x=0$. Горизонтальная асимптота $y=2$. График состоит из четырех ветвей. Две ветви для $0<|x|<2$ начинаются от $+\infty$ у оси Oy и опускаются до точек $(\pm 2, 0)$. Две другие ветви для $|x|>2$ начинаются из точек $(\pm 2, 0)$ и приближаются к асимптоте $y=2$ снизу. В точках $(\pm 2, 0)$ график имеет изломы.

Функция вида $y=|f(|x|)|$ для $f(x) = \frac{4}{x - 2}$. Область определения: $|x|-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2$.

Шаг 1: Построение графика функции $y = \frac{4}{x - 2}$.

Это гипербола $y=4/x$, смещенная на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Пересечение с осью Oy: $(0, -2)$.

Шаг 2: Построение графика функции $y = \frac{4}{|x| - 2}$.

Часть графика для $x \ge 0$ (с асимптотой $x=2$ и проходящая через $(0,-2)$) оставляем и отражаем симметрично относительно оси Oy. Получим график с двумя вертикальными асимптотами $x=2$ и $x=-2$. Горизонтальная асимптота $y=0$. График имеет локальный максимум в точке $(0, -2)$.

Шаг 3: Построение графика функции $y = |\frac{4}{|x| - 2}|$.

Весь график неотрицателен. Части графика $y = \frac{4}{|x| - 2}$, лежащие ниже оси Ox, отражаем симметрично. Ниже оси находится центральная часть графика между асимптотами ($|x|<2$). Локальный максимум $(0, -2)$ переходит в локальный минимум $(0, 2)$.

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. График состоит из трех ветвей. При $|x|>2$ ветви находятся в верхней полуплоскости, приближаясь к асимптотам $x=\pm2$ и $y=0$. При $|x|<2$ график представляет собой "U-образную" кривую с локальным минимумом в точке $(0, 2)$, ветви которой уходят на $+\infty$ вблизи асимптот $x=\pm2$.

5. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{4 - |x|};$

2) $y = 3 - \sqrt{4 - |x|};$

3) $y = |3 - \sqrt{4 - |x|}|;$

4) $y = \sqrt{|4 - x|};$

5) $y = 3 - \sqrt{|4 - x|};$

6) $y = |3 - \sqrt{|4 - x|}|.$

1) $y = \sqrt{4 - |x|}$

Для построения графика этой функции выполним последовательные преобразования, начав с базовой функции.

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, выходящая из начала координат вправо.
2. Строим график функции $y = \sqrt{4-x}$. Для этого график $y = \sqrt{x}$ нужно отразить относительно оси OY (получим $y = \sqrt{-x}$) и затем сдвинуть на 4 единицы вправо. Получим ветвь параболы, выходящую из точки $(4, 0)$ и направленную влево.
3. Теперь строим график исходной функции $y = \sqrt{4 - |x|}$. Это преобразование вида $f(x) \to f(|x|)$. Для этого нужно:
   • Взять часть графика $y = \sqrt{4-x}$, расположенную при $x \ge 0$. Это дуга, соединяющая точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$.
   • Симметрично отразить эту часть относительно оси OY. Получим вторую дугу, соединяющую точки $(0, 2)$ и $(-4, 0)$.

Найдем область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$4 - |x| \ge 0 \Rightarrow |x| \le 4 \Rightarrow -4 \le x \le 4$.
Таким образом, область определения $D(y) = [-4; 4]$.

Найдем область значений: так как корень арифметический, $y \ge 0$. Максимальное значение достигается при $|x|=0$, то есть $x=0$: $y = \sqrt{4-0}=2$. Минимальное значение при $|x|=4$, то есть $x = \pm 4$: $y = \sqrt{4-4}=0$.
Таким образом, область значений $E(y) = [0; 2]$.

Ключевые точки графика:

• Пересечение с осью OY (вершина): $(0, 2)$.
• Пересечения с осью OX (концы дуги): $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой симметричную относительно оси OY дугу, напоминающую верхнюю половину эллипса, с вершиной в точке $(0, 2)$ и концами в точках $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

2) $y = 3 - \sqrt{4 - |x|}$

График этой функции можно получить преобразованиями графика функции $y_1 = \sqrt{4 - |x|}$, построенного в предыдущем пункте.

1. Сначала построим график $y_2 = -\sqrt{4 - |x|}$. Он получается путем симметричного отражения графика $y_1$ относительно оси OX. Вершина из $(0, 2)$ переместится в $(0, -2)$, а точки $(-4, 0)$ и $(4, 0)$ останутся на месте.
2. Далее, чтобы получить искомый график $y = 3 - \sqrt{4 - |x|} = 3 + (-\sqrt{4 - |x|})$, нужно сдвинуть график $y_2$ на 3 единицы вверх вдоль оси OY.

При этом преобразовании ключевые точки переместятся следующим образом:

• Вершина из $(0, -2)$ перейдет в точку $(0, -2+3) = (0, 1)$. Это будет точка минимума.
• Концы дуги из $(\pm 4, 0)$ перейдут в точки $(\pm 4, 0+3) = (\pm 4, 3)$.

Область определения функции не меняется: $D(y) = [-4; 4]$.
Область значений: минимальное значение $y=1$ (при $x=0$), максимальное $y=3$ (при $x=\pm 4$). Таким образом, $E(y) = [1; 3]$.

Ответ: График функции — это симметричная относительно оси OY дуга, "перевернутая" вниз, с точкой минимума в $(0, 1)$ и концами в точках $(-4, 3)$ и $(4, 3)$.

3) $y = |3 - \sqrt{4 - |x|}|$

Для построения этого графика воспользуемся графиком функции $y_1 = 3 - \sqrt{4 - |x|}$ из пункта 2.

Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика функции $f(x)$, которая лежит ниже оси OX, должна быть отражена симметрично относительно этой оси, а часть, которая лежит выше или на оси OX, остается без изменений.

Как мы выяснили в пункте 2, область значений функции $y_1 = 3 - \sqrt{4 - |x|}$ есть отрезок $[1; 3]$. Поскольку все значения этой функции положительны, ее график целиком лежит выше оси OX.

Следовательно, применение модуля не изменит график функции.

Ответ: График функции $y = |3 - \sqrt{4 - |x|}|$ полностью совпадает с графиком функции $y = 3 - \sqrt{4 - |x|}$ из пункта 2.

4) $y = \sqrt{|4 - x|}$

Для построения графика раскроем модуль.

1. Если $4-x \ge 0$, то есть $x \le 4$, функция принимает вид $y = \sqrt{4-x}$. График этой функции — ветвь параболы, выходящая из точки $(4, 0)$ и идущая влево.
2. Если $4-x < 0$, то есть $x > 4$, функция принимает вид $y = \sqrt{-(4-x)} = \sqrt{x-4}$. График этой функции — ветвь параболы, выходящая из точки $(4, 0)$ и идущая вправо (это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вправо).

Объединяя эти две части, получаем итоговый график.
Область определения: $|4-x| \ge 0$ для любых $x$. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ при $x=4$. $E(y) = [0; +\infty)$.

Ключевые точки:

• Точка излома (вершина): $(4, 0)$.
• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y=\sqrt{|4-0|}=2$. Точка $(0, 2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей параболы, выходящих из общей точки $(4, 0)$ и направленных вверх. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=4$.

5) $y = 3 - \sqrt{|4 - x|}$

График этой функции можно получить преобразованиями графика $y_1 = \sqrt{|4 - x|}$ из пункта 4.

1. Строим график $y_2 = -\sqrt{|4 - x|}$. Он получается отражением графика $y_1$ относительно оси OX. Вершина останется в точке $(4, 0)$, а ветви будут направлены вниз.
2. Чтобы получить искомый график $y = 3 - \sqrt{|4 - x|}$, сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вверх по оси OY.

При этом вершина из $(4, 0)$ переместится в точку $(4, 3)$, которая станет точкой максимума.
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Максимальное значение $y=3$ при $x=4$. Ветви уходят в минус бесконечность. $E(y) = (-\infty; 3]$.

Найдем ключевые точки:

• Вершина (точка максимума): $(4, 3)$.
• Пересечение с OY (при $x=0$): $y=3-\sqrt{|4-0|} = 3-2=1$. Точка $(0, 1)$.
• Пересечения с OX (при $y=0$): $3 - \sqrt{|4-x|} = 0 \Rightarrow \sqrt{|4-x|} = 3 \Rightarrow |4-x|=9$. Отсюда $4-x=9$ (т.е. $x=-5$) или $4-x=-9$ (т.е. $x=13$). Точки $(-5, 0)$ и $(13, 0)$.

Ответ: График представляет собой две ветви параболы, направленные вниз из общей вершины в точке $(4, 3)$. График симметричен относительно прямой $x=4$ и пересекает оси в точках $(0, 1)$, $(-5, 0)$ и $(13, 0)$.

6) $y = |3 - \sqrt{|4 - x|}|$

Для построения этого графика воспользуемся графиком функции $y_1 = 3 - \sqrt{|4 - x|}$ из пункта 5.

Применяем преобразование $y=|f(x)|$. Часть графика $y_1$, которая находится ниже оси OX, отражается симметрично вверх, а остальная часть не меняется.

Из пункта 5 мы знаем, что график $y_1$ находится:

• Выше или на оси OX при $x \in [-5, 13]$.
• Ниже оси OX при $x \in (-\infty, -5) \cup (13, \infty)$.

Следовательно, для построения итогового графика нужно:

1. Оставить без изменений часть графика $y_1$ на отрезке $[-5, 13]$. Это "холм" с вершиной в $(4, 3)$.
2. Части графика при $x < -5$ и $x > 13$, которые уходили вниз, отразить симметрично относительно оси OX. Они превратятся в ветви, выходящие из точек $(-5, 0)$ и $(13, 0)$ и уходящие вверх.

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: График функции имеет форму, похожую на букву "W". Он симметричен относительно прямой $x=4$. График имеет локальный максимум (гладкую вершину) в точке $(4, 3)$ и два локальных минимума (точки излома) в точках $(-5, 0)$ и $(13, 0)$, где он касается оси OX.