Номер 371, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

371. При каком значении $a$ функция $y = ax^2 + (a - 2)x + \frac{1}{4}$ является квадратичной и её график имеет с осью абсцисс одну общую точку?

Для решения задачи необходимо выполнить два условия, указанных в вопросе.

1. Функция является квадратичной.

Функция $y = ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4}$ является квадратичной, если коэффициент при старшем члене ($x^2$) не равен нулю. В данном случае этот коэффициент равен $a$.
Следовательно, первое условие: $a \neq 0$.

2. График функции имеет с осью абсцисс одну общую точку.

График функции имеет с осью абсцисс (осью $Ox$) одну общую точку, если квадратное уравнение $ax^2 + (a-2)x + \frac{1}{4} = 0$ имеет ровно один корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ этого уравнения равен нулю.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты уравнения:
$a_k = a$
$b_k = a-2$
$c_k = \frac{1}{4}$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:
$D = (a-2)^2 - 4 \cdot a \cdot \frac{1}{4} = 0$
$(a-2)^2 - a = 0$
$a^2 - 4a + 4 - a = 0$
$a^2 - 5a + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корнями являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.
Либо можно решить через дискриминант для этого уравнения:
$D_a = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
$a_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$
$a_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$a_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Объединение условий.

Мы получили два возможных значения для $a$: $1$ и $4$. Оба этих значения удовлетворяют первому условию ($a \neq 0$).
Следовательно, оба значения являются решениями задачи.

Ответ: при $a=1$ и $a=4$.