Страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

539. Внедрение новых технологий позволило уменьшить время на изготовление одной детали с 12 мин до 10 мин. На сколько процентов будет выполняться при этом план, если норму времени не изменять?

Для решения этой задачи необходимо определить, как изменилась производительность труда после внедрения новых технологий. Производительность — это количество продукции (в данном случае деталей), произведенной за единицу времени. Она обратно пропорциональна времени, затрачиваемому на изготовление одной единицы продукции.

Изначально время на изготовление одной детали составляло $t_1 = 12$ минут. Это установленная норма, которая соответствует 100% выполнения плана.

После внедрения технологий время на изготовление одной детали сократилось до $t_2 = 10$ минут.

Чтобы найти, на сколько процентов будет выполняться план, нужно сравнить новую (фактическую) производительность со старой (плановой).

Пусть плановая производительность равна $P_1$. За некоторый промежуток времени $T$ по плану должно быть изготовлено $N_1 = \frac{T}{t_1} = \frac{T}{12}$ деталей.

Новая, фактическая производительность равна $P_2$. За то же время $T$ по факту будет изготовлено $N_2 = \frac{T}{t_2} = \frac{T}{10}$ деталей.

Процент выполнения плана — это отношение фактического количества произведенных деталей к плановому, умноженное на 100%:

Процент выполнения = $\frac{N_2}{N_1} \times 100\% = \frac{T/10}{T/12} \times 100\%$.

Упростим выражение, сократив $T$:

$\frac{1/10}{1/12} \times 100\% = \frac{12}{10} \times 100\% = 1.2 \times 100\% = 120\%$.

Это означает, что за то же время, за которое по плану должны были изготовить 100% продукции, по новой технологии изготовят 120%.

Ответ: План будет выполняться на 120%.

540. Смешали 30-процентный раствор соляной кислоты с 10-процентным раствором и получили 800 г 15-процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли для этого?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это масса (в граммах) 30-процентного раствора соляной кислоты, а $y$ — масса (в граммах) 10-процентного раствора.

По условию, общая масса смеси составляет 800 г. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 800$

Второе уравнение составим на основе массы чистой соляной кислоты в растворах.
Масса кислоты в первом (30%) растворе равна $0.3x$.
Масса кислоты во втором (10%) растворе равна $0.1y$.
Масса кислоты в итоговом (15%) растворе массой 800 г равна $0.15 \times 800 = 120$ г.

Сумма масс кислоты в исходных растворах должна быть равна массе кислоты в конечном растворе. Получаем второе уравнение:
$0.3x + 0.1y = 120$

Теперь решим систему из двух уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 800 \\ 0.3x + 0.1y = 120 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 800 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$0.3x + 0.1(800 - x) = 120$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$0.3x + 80 - 0.1x = 120$
$0.2x = 120 - 80$
$0.2x = 40$
$x = \frac{40}{0.2}$
$x = 200$

Таким образом, масса 30-процентного раствора составляет 200 г.

Теперь найдем массу 10-процентного раствора:
$y = 800 - x = 800 - 200 = 600$

Масса 10-процентного раствора составляет 600 г.

Ответ: для этого взяли 200 г 30-процентного раствора и 600 г 10-процентного раствора.

541. В первом бидоне находится молоко, в котором массовая часть жира составляет 2 %, а во втором – молоко с массовой частью жира 5 %. Сколько надо взять килограммов молока из каждого бидона, чтобы получить 18 кг молока, массовая часть жира в котором равна 3 %?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — масса молока, которую необходимо взять из первого бидона (с жирностью 2%), и $y$ кг — масса молока, которую необходимо взять из второго бидона (с жирностью 5%).

По условию, общая масса полученной смеси должна равняться 18 кг. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 18$

Далее составим уравнение, основанное на массе жира. Масса жира в молоке из первого бидона составляет $2\%$ от его массы, то есть $0.02x$ кг. Масса жира в молоке из второго бидона составляет $5\%$ от его массы, то есть $0.05y$ кг. В итоговой смеси массой 18 кг массовая доля жира должна быть равна $3\%$, значит, масса жира в ней составляет $0.03 \cdot 18 = 0.54$ кг.

Сумма масс жира из двух бидонов должна быть равна массе жира в конечной смеси, что дает нам второе уравнение:

$0.02x + 0.05y = 0.54$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}x + y = 18 \\0.02x + 0.05y = 0.54\end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x = 18 - y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$0.02(18 - y) + 0.05y = 0.54$

Решим это уравнение относительно $y$:

$0.36 - 0.02y + 0.05y = 0.54$

$0.03y = 0.54 - 0.36$

$0.03y = 0.18$

$y = \frac{0.18}{0.03}$

$y = 6$

Следовательно, из второго бидона (с жирностью 5%) необходимо взять 6 кг молока.

Теперь найдем массу молока, которую нужно взять из первого бидона, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 18 - 6 = 12$

Таким образом, из первого бидона (с жирностью 2%) необходимо взять 12 кг молока.

Ответ: нужно взять 12 кг молока из первого бидона (2%) и 6 кг молока из второго бидона (5%).

542. Одеяло стоило 2400 р. После того как цена была снижена дважды, оно стало стоить 1728 р., причём процент снижения во второй раз был в 2 раза больше, чем в первый. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?

Пусть начальная цена одеяла составляет $P_0 = 2400$ рублей.
Пусть $x$ — это процент, на который цена была снижена в первый раз.
Тогда во второй раз цена была снижена на $2x$ процентов, так как по условию процент снижения во второй раз был в 2 раза больше, чем в первый.

После первого снижения цены на $x$ процентов, новая цена $P_1$ составила:
$P_1 = P_0 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 2400 \cdot (1 - \frac{x}{100})$

Затем цена $P_1$ была снижена на $2x$ процентов. Итоговая цена $P_2$ стала равна 1728 рублей.
$P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{2x}{100}) = \left(2400 \cdot (1 - \frac{x}{100})\right) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Подставим известное значение $P_2$ и составим уравнение:
$1728 = 2400 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Разделим обе части уравнения на 2400:
$\frac{1728}{2400} = (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Сократим дробь в левой части:
$\frac{1728}{2400} = \frac{1728 \div 48}{2400 \div 48} = \frac{36}{50} = \frac{18}{25}$

Итак, наше уравнение имеет вид:
$\frac{18}{25} = (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Для удобства решения введем замену. Пусть $k = \frac{x}{100}$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{18}{25} = (1 - k)(1 - 2k)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$\frac{18}{25} = 1 - 2k - k + 2k^2$
$\frac{18}{25} = 2k^2 - 3k + 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ak^2 + bk + c = 0$:
$2k^2 - 3k + 1 - \frac{18}{25} = 0$
$2k^2 - 3k + \frac{25}{25} - \frac{18}{25} = 0$
$2k^2 - 3k + \frac{7}{25} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 25:
$50k^2 - 75k + 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 7 = 5625 - 1400 = 4225$
$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$

Найдем корни уравнения:
$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 + 65}{2 \cdot 50} = \frac{140}{100} = 1.4$
$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 - 65}{2 \cdot 50} = \frac{10}{100} = 0.1$

Вспомним, что $k = \frac{x}{100}$, где $x$ — процент снижения.
Если $k_1 = 1.4$, то $x_1 = 1.4 \cdot 100 = 140\%$. Снижение цены на 140% физически невозможно в данном контексте, так как цена не может стать отрицательной. Этот корень является посторонним.
Если $k_2 = 0.1$, то $x_2 = 0.1 \cdot 100 = 10\%$. Это значение является допустимым.

Таким образом, в первый раз цена была снижена на 10%.
Во второй раз цена была снижена на $2x = 2 \cdot 10 = 20\%$.

Проверим решение:
1. Начальная цена: 2400 р.
2. Цена после первого снижения на 10%: $2400 - 2400 \cdot 0.1 = 2400 - 240 = 2160$ р.
3. Цена после второго снижения на 20%: $2160 - 2160 \cdot 0.2 = 2160 - 432 = 1728$ р.
Полученное значение совпадает с конечной ценой из условия задачи.

Ответ: в первый раз цена снизилась на 10%, во второй раз — на 20%.

543. Некоторый товар стоил 200 р. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а потом снизили на столько же процентов, после чего его стоимость стала 192 р. На сколько процентов каждый раз происходило изменение цены товара?

Пусть первоначальная стоимость товара равна $C_0 = 200$ рублей, а искомое число процентов равно $x$.

Сначала цену повысили на $x$ процентов. Новая стоимость товара, $C_1$, составила:
$C_1 = C_0 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 200 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$.

Затем полученную цену $C_1$ снизили на $x$ процентов. Итоговая стоимость, $C_2$, стала равна 192 рубля. Выразим ее через $C_1$:
$C_2 = C_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$.

Теперь подставим выражение для $C_1$ в формулу для $C_2$ и приравняем к известному значению 192, чтобы составить уравнение:
$192 = 200 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\frac{x}{100}$:
$192 = 200 \cdot \left(1^2 - \left(\frac{x}{100}\right)^2\right)$
$192 = 200 \cdot \left(1 - \frac{x^2}{10000}\right)$
Разделим обе части уравнения на 200:
$\frac{192}{200} = 1 - \frac{x^2}{10000}$
Упростим дробь в левой части:
$0.96 = 1 - \frac{x^2}{10000}$
Теперь выразим член с неизвестной:
$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.96$
$\frac{x^2}{10000} = 0.04$
Умножим обе части на 10000, чтобы найти $x^2$:
$x^2 = 0.04 \cdot 10000$
$x^2 = 400$
Извлечем квадратный корень. Поскольку процент является положительной величиной, мы берем только арифметический корень:
$x = \sqrt{400} = 20$.

Следовательно, цена товара каждый раз изменялась на 20 процентов.
Ответ: на 20 процентов.

544. Вкладчик положил в банк 40 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был увеличен на 4 единицы. В конце второго года на счёте оказалось 46 640 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Составление математической модели

Пусть $p$ — искомая процентная ставка в первый год.
Начальный вклад составляет $S_0 = 40\,000$ рублей.
Сумма на счете через год вычисляется по формуле сложных процентов. Коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за первый год, равен $1 + \frac{p}{100}$.
Сумма на счете в конце первого года составит:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 40\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100})$ рублей.
Во второй год процентная ставка была увеличена на 4 единицы и стала равна $(p + 4)\%$.
Сумма на счете в конце второго года, $S_2$, будет начисляться на сумму $S_1$:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p+4}{100}) = 40\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+4}{100})$.
По условию задачи, в конце второго года на счете оказалось $46\,640$ рублей, то есть $S_2 = 46\,640$.

Решение уравнения

Составим уравнение, приравняв выражение для $S_2$ к известному значению:
$40\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+4}{100}) = 46\,640$.
Разделим обе части уравнения на $40\,000$:
$(1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+4}{100}) = \frac{46\,640}{40\,000}$
$(\frac{100+p}{100}) \cdot (\frac{104+p}{100}) = 1.166$
$\frac{(100+p)(104+p)}{10000} = 1.166$
$(100+p)(104+p) = 11660$.
Для упрощения решения введем новую переменную $x = 100 + p$. Тогда уравнение примет вид:
$x \cdot (x+4) = 11660$
$x^2 + 4x - 11660 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11660) = 16 + 46640 = 46656$.
$\sqrt{D} = \sqrt{46656} = 216$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 216}{2} = \frac{212}{2} = 106$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 216}{2} = \frac{-220}{2} = -110$.

Нахождение процентной ставки и проверка

Теперь вернемся к переменной $p$ через замену $x = 100 + p$.
1. Если $x_1 = 106$, то $106 = 100 + p$, откуда $p = 6$.
2. Если $x_2 = -110$, то $-110 = 100 + p$, откуда $p = -210$.
Процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной, поэтому второй корень не подходит по смыслу задачи.
Таким образом, банковская ставка в первый год составляла $6\%$.
Проверим найденное решение:
1. Сумма после первого года: $40\,000 \cdot (1 + \frac{6}{100}) = 40\,000 \cdot 1.06 = 42\,400$ рублей.
2. Ставка во второй год: $6\% + 4\% = 10\%$.
3. Сумма после второго года: $42\,400 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 42\,400 \cdot 1.1 = 46\,640$ рублей.
Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 6%.

545. Вкладчик положил в банк 20 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был уменьшен на 2 единицы. В конце второго года на счёте оказалось 23 760 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Для решения этой задачи составим математическую модель.

Пусть $S_0$ — начальная сумма вклада, которая по условию равна 20 000 рублей.

Пусть $x$ — это процентная ставка в первый год. Тогда для начисления процентов сумму вклада нужно умножить на коэффициент $k_1 = 1 + \frac{x}{100}$.

Сумма на счете после первого года ($S_1$) будет равна:

$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 20\;000 \cdot (1 + \frac{x}{100})$

Во второй год процентная ставка была уменьшена на 2 единицы и составила $(x-2)\%$. Коэффициент для начисления процентов за второй год будет $k_2 = 1 + \frac{x-2}{100}$.

Сумма на счете в конце второго года ($S_2$) рассчитывается от суммы $S_1$:

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{x-2}{100})$

Подставим выражение для $S_1$ в эту формулу:

$S_2 = 20\;000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-2}{100})$

По условию, в конце второго года на счете оказалось 23 760 рублей. Составим уравнение:

$20\;000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-2}{100}) = 23\;760$

Разделим обе части уравнения на 20 000:

$(\frac{100+x}{100}) \cdot (\frac{100+x-2}{100}) = \frac{23\;760}{20\;000}$

$\frac{(100+x)(98+x)}{10\;000} = 1,188$

Умножим обе части уравнения на 10 000:

$(100+x)(98+x) = 11\;880$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$100 \cdot 98 + 100x + 98x + x^2 = 11\;880$

$9800 + 198x + x^2 = 11\;880$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 + 198x + 9800 - 11\;880 = 0$

$x^2 + 198x - 2080 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 198^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2080) = 39204 + 8320 = 47524$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{47524} = 218$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-198 + 218}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-198 - 218}{2 \cdot 1} = \frac{-416}{2} = -208$

Так как процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -208$ не имеет экономического смысла в данной задаче.

Следовательно, процентная ставка в первый год составляла 10%.

Проверка:

Сумма после первого года при ставке 10%: $20\;000 \cdot 1,1 = 22\;000$ р.

Ставка во второй год: $10\% - 2\% = 8\%$.

Сумма после второго года: $22\;000 \cdot (1 + \frac{8}{100}) = 22\;000 \cdot 1,08 = 23\;760$ р.

Результат совпал с данными в условии задачи.

Ответ: 10%.

546. К сплаву меди и цинка, содержавшему меди на 12 кг больше, чем цинка, добавили 6 кг меди. Вследствие этого процентное содержание цинка в сплаве снизилось на 5 единиц. Сколько килограммов цинка и сколько килограммов меди содержал сплав первоначально?

Пусть первоначально в сплаве было $z$ кг цинка и $m$ кг меди.

Согласно условию, меди в сплаве было на 12 кг больше, чем цинка. Это можно выразить уравнением: $m = z + 12$

Общая масса первоначального сплава составляла $M_1 = m + z = (z + 12) + z = 2z + 12$ кг.

Процентное содержание цинка в первоначальном сплаве равно: $P_1 = \frac{\text{масса цинка}}{\text{общая масса}} \times 100 = \frac{z}{2z + 12} \times 100$

После того как к сплаву добавили 6 кг меди, масса меди стала $m_{new} = m + 6 = (z + 12) + 6 = z + 18$ кг. Масса цинка осталась прежней.

Новая общая масса сплава стала $M_2 = M_1 + 6 = (2z + 12) + 6 = 2z + 18$ кг.

Новое процентное содержание цинка в сплаве равно: $P_2 = \frac{\text{масса цинка}}{\text{новая общая масса}} \times 100 = \frac{z}{2z + 18} \times 100$

По условию, процентное содержание цинка снизилось на 5 единиц. Это означает, что разница между первоначальным и новым процентным содержанием составляет 5: $P_1 - P_2 = 5$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$ в это уравнение: $\frac{100z}{2z + 12} - \frac{100z}{2z + 18} = 5$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить его: $\frac{20z}{2z + 12} - \frac{20z}{2z + 18} = 1$

Вынесем общий множитель $20z$ за скобки в левой части и приведем дроби к общему знаменателю: $20z \left( \frac{1}{2z + 12} - \frac{1}{2z + 18} \right) = 1$ $20z \left( \frac{(2z + 18) - (2z + 12)}{(2z + 12)(2z + 18)} \right) = 1$

Упростим числитель в скобках: $2z + 18 - 2z - 12 = 6$. Уравнение принимает вид: $20z \left( \frac{6}{(2z + 12)(2z + 18)} \right) = 1$ $\frac{120z}{(2z + 12)(2z + 18)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель (при условии $z > 0$, он не равен нулю): $120z = (2z + 12)(2z + 18)$

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые: $120z = 4z^2 + 36z + 24z + 216$ $120z = 4z^2 + 60z + 216$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4z^2 + 60z - 120z + 216 = 0$ $4z^2 - 60z + 216 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения: $z^2 - 15z + 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 54. Корнями являются числа 6 и 9. Таким образом, $z_1 = 6$ и $z_2 = 9$.

Поскольку оба корня являются положительными числами, они оба представляют собой возможные решения. Необходимо проверить каждый случай.

Если первоначальная масса цинка $z = 6$ кг, то масса меди $m = 6 + 12 = 18$ кг. Первоначальный процент цинка составляет $\frac{6}{6+18} \times 100\% = 25\%$. После добавления 6 кг меди общая масса становится $24+6=30$ кг, а новый процент цинка равен $\frac{6}{30} \times 100\% = 20\%$. Разница $25\% - 20\% = 5\%$, что соответствует условию.

Если первоначальная масса цинка $z = 9$ кг, то масса меди $m = 9 + 12 = 21$ кг. Первоначальный процент цинка составляет $\frac{9}{9+21} \times 100\% = 30\%$. После добавления 6 кг меди общая масса становится $30+6=36$ кг, а новый процент цинка равен $\frac{9}{36} \times 100\% = 25\%$. Разница $30\% - 25\% = 5\%$, что также соответствует условию.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Первоначально сплав содержал либо 6 кг цинка и 18 кг меди, либо 9 кг цинка и 21 кг меди.

547. К сплаву магния и алюминия, содержавшему 12 кг алюминия, добавили 5 кг магния, после чего процентное содержание магния в сплаве увеличилось на 20 единиц. Сколько килограммов магния было в сплаве первоначально?

Пусть $x$ кг — первоначальная масса магния в сплаве.

Масса алюминия в сплаве, по условию, составляет 12 кг.

Следовательно, первоначальная общая масса сплава равна $(x + 12)$ кг.

Процентное содержание магния в первоначальном сплаве можно рассчитать по формуле: $P_1 = \frac{\text{масса магния}}{\text{общая масса сплава}} \cdot 100\% = \frac{x}{x + 12} \cdot 100\%$

После того как к сплаву добавили 5 кг магния, масса магния в новом сплаве стала $(x + 5)$ кг, а общая масса нового сплава стала $(x + 12 + 5) = (x + 17)$ кг.

Процентное содержание магния в новом сплаве: $P_2 = \frac{x + 5}{x + 17} \cdot 100\%$

По условию задачи, процентное содержание магния увеличилось на 20 единиц (процентных пунктов). Это означает, что разница между новым и старым процентным содержанием равна 20.

Составим уравнение: $P_2 - P_1 = 20$

$\frac{x + 5}{x + 17} \cdot 100 - \frac{x}{x + 12} \cdot 100 = 20$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 100: $\frac{x + 5}{x + 17} - \frac{x}{x + 12} = 0.2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 17)(x + 12)$: $\frac{(x + 5)(x + 12) - x(x + 17)}{(x + 17)(x + 12)} = 0.2$

Раскроем скобки и упростим числитель: $\frac{(x^2 + 12x + 5x + 60) - (x^2 + 17x)}{x^2 + 12x + 17x + 204} = 0.2$

$\frac{x^2 + 17x + 60 - x^2 - 17x}{x^2 + 29x + 204} = 0.2$

$\frac{60}{x^2 + 29x + 204} = 0.2$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $x^2 + 29x + 204$ (при условии, что $x > 0$, знаменатель не равен нулю): $60 = 0.2(x^2 + 29x + 204)$

Разделим обе части на 0.2 (что равносильно умножению на 5): $300 = x^2 + 29x + 204$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$: $x^2 + 29x + 204 - 300 = 0$

$x^2 + 29x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 29^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 841 + 384 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

Поскольку масса вещества не может быть отрицательной, корень $x_2 = -32$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи.

Таким образом, первоначальная масса магния в сплаве была 3 кг.

Проверка:

1. Исходный сплав: 3 кг магния + 12 кг алюминия = 15 кг. Содержание магния: $\frac{3}{15} \cdot 100\% = 20\%$.

2. Добавили 5 кг магния. Новый сплав: (3+5) кг магния + 12 кг алюминия = 8 + 12 = 20 кг. Содержание магния: $\frac{8}{20} \cdot 100\% = 40\%$.

3. Увеличение процентного содержания: $40\% - 20\% = 20\%$. Результат проверки соответствует условию задачи.

Ответ: 3 кг.

548. В цистерне находилась концентрированная серная кислота, содержавшая 2 т воды. После того как эту кислоту смешали с 4 т воды, концентрация её снизилась на 15 единиц. Сколько тонн кислоты было в цистерне первоначально?

Пусть $x$ тонн — масса чистой серной кислоты (вещества) в цистерне.
Изначально в растворе было 2 тонны воды.
Следовательно, первоначальная общая масса раствора (кислоты) составляла $M_1 = (x + 2)$ тонн.

Концентрация вещества в растворе — это отношение массы чистого вещества к общей массе раствора. Первоначальная концентрация $C_1$ была:

$C_1 = \frac{x}{x+2}$

После того как к раствору добавили 4 тонны воды, масса воды в новом растворе стала $2 + 4 = 6$ тонн.
Общая масса нового раствора стала $M_2 = (x + 6)$ тонн.
Новая концентрация $C_2$ стала:

$C_2 = \frac{x}{x+6}$

По условию, концентрация снизилась на 15 единиц, что в долях составляет 0,15. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$C_1 - C_2 = 0.15$

$\frac{x}{x+2} - \frac{x}{x+6} = 0.15$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{x(x+6) - x(x+2)}{(x+2)(x+6)} = 0.15$

$\frac{x^2 + 6x - x^2 - 2x}{x^2 + 8x + 12} = 0.15$

$\frac{4x}{x^2 + 8x + 12} = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot 4x = 3 \cdot (x^2 + 8x + 12)$

$80x = 3x^2 + 24x + 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 24x - 80x + 36 = 0$

$3x^2 - 56x + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 3136 - 432 = 2704$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 52}{2 \cdot 3} = \frac{108}{6} = 18$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 52}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Мы получили два возможных значения для массы чистой кислоты. Проверим оба варианта.

Случай 1: $x = 18$ тонн.
Первоначальная концентрация: $C_1 = \frac{18}{18+2} = \frac{18}{20} = 0.9$, или 90%.
Конечная концентрация: $C_2 = \frac{18}{18+6} = \frac{18}{24} = 0.75$, или 75%.
Разница концентраций: $90\% - 75\% = 15\%$. Этот вариант подходит.
Концентрация 90% соответствует понятию "концентрированная кислота".

Случай 2: $x = \frac{2}{3}$ тонны.
Первоначальная концентрация: $C_1 = \frac{2/3}{2/3+2} = \frac{2/3}{8/3} = \frac{2}{8} = 0.25$, или 25%.
Конечная концентрация: $C_2 = \frac{2/3}{2/3+6} = \frac{2/3}{20/3} = \frac{2}{20} = 0.1$, или 10%.
Разница концентраций: $25\% - 10\% = 15\%$. Этот вариант также математически верен.
Однако, 25% раствор серной кислоты обычно не называют концентрированным. Поэтому этот корень, скорее всего, не соответствует условию задачи.

Исходя из того, что в условии речь идет о концентрированной кислоте, выбираем первый вариант, где масса чистой кислоты $x = 18$ тонн.

Вопрос задачи — "Сколько тонн кислоты было в цистерне первоначально?". Под "кислотой" здесь понимается весь раствор. Найдем его первоначальную массу:

$M_1 = x + 2 = 18 + 2 = 20$ тонн.

Ответ: 20 тонн.