Номер 547, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

547. К сплаву магния и алюминия, содержавшему 12 кг алюминия, добавили 5 кг магния, после чего процентное содержание магния в сплаве увеличилось на 20 единиц. Сколько килограммов магния было в сплаве первоначально?

Пусть $x$ кг — первоначальная масса магния в сплаве.

Масса алюминия в сплаве, по условию, составляет 12 кг.

Следовательно, первоначальная общая масса сплава равна $(x + 12)$ кг.

Процентное содержание магния в первоначальном сплаве можно рассчитать по формуле: $P_1 = \frac{\text{масса магния}}{\text{общая масса сплава}} \cdot 100\% = \frac{x}{x + 12} \cdot 100\%$

После того как к сплаву добавили 5 кг магния, масса магния в новом сплаве стала $(x + 5)$ кг, а общая масса нового сплава стала $(x + 12 + 5) = (x + 17)$ кг.

Процентное содержание магния в новом сплаве: $P_2 = \frac{x + 5}{x + 17} \cdot 100\%$

По условию задачи, процентное содержание магния увеличилось на 20 единиц (процентных пунктов). Это означает, что разница между новым и старым процентным содержанием равна 20.

Составим уравнение: $P_2 - P_1 = 20$

$\frac{x + 5}{x + 17} \cdot 100 - \frac{x}{x + 12} \cdot 100 = 20$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 100: $\frac{x + 5}{x + 17} - \frac{x}{x + 12} = 0.2$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 17)(x + 12)$: $\frac{(x + 5)(x + 12) - x(x + 17)}{(x + 17)(x + 12)} = 0.2$

Раскроем скобки и упростим числитель: $\frac{(x^2 + 12x + 5x + 60) - (x^2 + 17x)}{x^2 + 12x + 17x + 204} = 0.2$

$\frac{x^2 + 17x + 60 - x^2 - 17x}{x^2 + 29x + 204} = 0.2$

$\frac{60}{x^2 + 29x + 204} = 0.2$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $x^2 + 29x + 204$ (при условии, что $x > 0$, знаменатель не равен нулю): $60 = 0.2(x^2 + 29x + 204)$

Разделим обе части на 0.2 (что равносильно умножению на 5): $300 = x^2 + 29x + 204$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$: $x^2 + 29x + 204 - 300 = 0$

$x^2 + 29x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 29^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 841 + 384 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

Поскольку масса вещества не может быть отрицательной, корень $x_2 = -32$ не имеет физического смысла в контексте данной задачи.

Таким образом, первоначальная масса магния в сплаве была 3 кг.

Проверка:

1. Исходный сплав: 3 кг магния + 12 кг алюминия = 15 кг. Содержание магния: $\frac{3}{15} \cdot 100\% = 20\%$.

2. Добавили 5 кг магния. Новый сплав: (3+5) кг магния + 12 кг алюминия = 8 + 12 = 20 кг. Содержание магния: $\frac{8}{20} \cdot 100\% = 40\%$.

3. Увеличение процентного содержания: $40\% - 20\% = 20\%$. Результат проверки соответствует условию задачи.

Ответ: 3 кг.