Номер 545, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

545. Вкладчик положил в банк 20 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был уменьшен на 2 единицы. В конце второго года на счёте оказалось 23 760 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Для решения этой задачи составим математическую модель.

Пусть $S_0$ — начальная сумма вклада, которая по условию равна 20 000 рублей.

Пусть $x$ — это процентная ставка в первый год. Тогда для начисления процентов сумму вклада нужно умножить на коэффициент $k_1 = 1 + \frac{x}{100}$.

Сумма на счете после первого года ($S_1$) будет равна:

$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 20\;000 \cdot (1 + \frac{x}{100})$

Во второй год процентная ставка была уменьшена на 2 единицы и составила $(x-2)\%$. Коэффициент для начисления процентов за второй год будет $k_2 = 1 + \frac{x-2}{100}$.

Сумма на счете в конце второго года ($S_2$) рассчитывается от суммы $S_1$:

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{x-2}{100})$

Подставим выражение для $S_1$ в эту формулу:

$S_2 = 20\;000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-2}{100})$

По условию, в конце второго года на счете оказалось 23 760 рублей. Составим уравнение:

$20\;000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x-2}{100}) = 23\;760$

Разделим обе части уравнения на 20 000:

$(\frac{100+x}{100}) \cdot (\frac{100+x-2}{100}) = \frac{23\;760}{20\;000}$

$\frac{(100+x)(98+x)}{10\;000} = 1,188$

Умножим обе части уравнения на 10 000:

$(100+x)(98+x) = 11\;880$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$100 \cdot 98 + 100x + 98x + x^2 = 11\;880$

$9800 + 198x + x^2 = 11\;880$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 + 198x + 9800 - 11\;880 = 0$

$x^2 + 198x - 2080 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 198^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2080) = 39204 + 8320 = 47524$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{47524} = 218$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-198 + 218}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-198 - 218}{2 \cdot 1} = \frac{-416}{2} = -208$

Так как процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -208$ не имеет экономического смысла в данной задаче.

Следовательно, процентная ставка в первый год составляла 10%.

Проверка:

Сумма после первого года при ставке 10%: $20\;000 \cdot 1,1 = 22\;000$ р.

Ставка во второй год: $10\% - 2\% = 8\%$.

Сумма после второго года: $22\;000 \cdot (1 + \frac{8}{100}) = 22\;000 \cdot 1,08 = 23\;760$ р.

Результат совпал с данными в условии задачи.

Ответ: 10%.