Номер 552, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

552. При каких значениях c трёхчлен $2x^2 - 2x + 5c$ принимает положительные значения при любом значении $x$?

Требуется найти значения параметра $c$, при которых трёхчлен $2x^2 - 2x + 5c$ принимает положительные значения для любого значения $x$. Это равносильно решению неравенства $2x^2 - 2x + 5c > 0$ для всех действительных чисел $x$.

Выражение $y = 2x^2 - 2x + 5c$ является квадратичной функцией, графиком которой является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $a=2$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Чтобы парабола с ветвями вверх всегда принимала положительные значения ($y > 0$), она должна полностью располагаться выше оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что у параболы не должно быть точек пересечения или касания с осью $Ox$.

3. Условием отсутствия действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ является отрицательность его дискриминанта ($D < 0$).

4. Найдем дискриминант для нашего трёхчлена $2x^2 - 2x + 5c$. В данном случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -2$, а свободный член (в стандартной формуле обозначаемый как $c$) равен $5c$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши значения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5c) = 4 - 40c$.

5. Теперь решим неравенство $D < 0$: $4 - 40c < 0$

Перенесем 4 в правую часть: $-40c < -4$

Разделим обе части неравенства на $-40$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $c > \frac{-4}{-40}$ $c > \frac{4}{40}$ $c > \frac{1}{10}$

Итак, при $c > \frac{1}{10}$ (или $c > 0.1$) дискриминант будет отрицательным, и, следовательно, трёхчлен $2x^2 - 2x + 5c$ будет принимать положительные значения при любом значении $x$.

Ответ: $c > 0.1$