Номер 551, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

551. Известно, что $-3 \le a \le 2$, $-1 \le b \le 3$. Оцените значение выражения:

1) $3a + 4b$;

2) $4a - 3b$.

Сколько целых значений принимает каждое из этих выражений?

Для решения задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны следующие условия:

$-3 \le a \le 2$

$-1 \le b \le 3$

1) 3a + 4b;

Чтобы оценить значение выражения $3a + 4b$, нам нужно найти границы для каждого слагаемого, а затем сложить полученные неравенства.

Сначала оценим выражение $3a$. Для этого умножим все части неравенства $-3 \le a \le 2$ на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot (-3) \le 3a \le 3 \cdot 2$

$-9 \le 3a \le 6$

Теперь оценим выражение $4b$. Умножим все части неравенства $-1 \le b \le 3$ на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства также сохраняются:

$4 \cdot (-1) \le 4b \le 4 \cdot 3$

$-4 \le 4b \le 12$

Теперь сложим почленно полученные неравенства:

$(-9) + (-4) \le 3a + 4b \le 6 + 12$

$-13 \le 3a + 4b \le 18$

Таким образом, мы оценили значение выражения $3a + 4b$.

Теперь найдем, сколько целых значений может принимать это выражение. Нам нужно найти количество целых чисел в отрезке $[-13, 18]$. Это можно сделать по формуле $n - m + 1$, где $n$ — верхняя граница, а $m$ — нижняя.

Количество целых значений = $18 - (-13) + 1 = 18 + 13 + 1 = 32$.

Ответ: $-13 \le 3a + 4b \le 18$; выражение принимает 32 целых значения.

2) 4a - 3b.

Для оценки выражения $4a - 3b$ представим его как сумму $4a + (-3b)$ и найдем границы для каждого слагаемого.

Сначала оценим выражение $4a$. Умножим все части неравенства $-3 \le a \le 2$ на 4:

$4 \cdot (-3) \le 4a \le 4 \cdot 2$

$-12 \le 4a \le 8$

Теперь оценим выражение $-3b$. Для этого умножим все части неравенства $-1 \le b \le 3$ на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-3 \cdot (-1) \ge -3b \ge -3 \cdot 3$

$3 \ge -3b \ge -9$

Для удобства сложения запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-9 \le -3b \le 3$

Теперь сложим почленно неравенства для $4a$ и $-3b$:

$(-12) + (-9) \le 4a + (-3b) \le 8 + 3$

$-21 \le 4a - 3b \le 11$

Таким образом, мы оценили значение выражения $4a - 3b$.

Найдем количество целых значений в отрезке $[-21, 11]$:

Количество целых значений = $11 - (-21) + 1 = 11 + 21 + 1 = 33$.

Ответ: $-21 \le 4a - 3b \le 11$; выражение принимает 33 целых значения.