Номер 544, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

544. Вкладчик положил в банк 40 000 р. За первый год ему начислили некоторый процент годовых, а во второй год банковский процент был увеличен на 4 единицы. В конце второго года на счёте оказалось 46 640 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Составление математической модели

Пусть $p$ — искомая процентная ставка в первый год.
Начальный вклад составляет $S_0 = 40\,000$ рублей.
Сумма на счете через год вычисляется по формуле сложных процентов. Коэффициент, на который увеличивается сумма вклада за первый год, равен $1 + \frac{p}{100}$.
Сумма на счете в конце первого года составит:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 40\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100})$ рублей.
Во второй год процентная ставка была увеличена на 4 единицы и стала равна $(p + 4)\%$.
Сумма на счете в конце второго года, $S_2$, будет начисляться на сумму $S_1$:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{p+4}{100}) = 40\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+4}{100})$.
По условию задачи, в конце второго года на счете оказалось $46\,640$ рублей, то есть $S_2 = 46\,640$.

Решение уравнения

Составим уравнение, приравняв выражение для $S_2$ к известному значению:
$40\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+4}{100}) = 46\,640$.
Разделим обе части уравнения на $40\,000$:
$(1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p+4}{100}) = \frac{46\,640}{40\,000}$
$(\frac{100+p}{100}) \cdot (\frac{104+p}{100}) = 1.166$
$\frac{(100+p)(104+p)}{10000} = 1.166$
$(100+p)(104+p) = 11660$.
Для упрощения решения введем новую переменную $x = 100 + p$. Тогда уравнение примет вид:
$x \cdot (x+4) = 11660$
$x^2 + 4x - 11660 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11660) = 16 + 46640 = 46656$.
$\sqrt{D} = \sqrt{46656} = 216$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 216}{2} = \frac{212}{2} = 106$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 216}{2} = \frac{-220}{2} = -110$.

Нахождение процентной ставки и проверка

Теперь вернемся к переменной $p$ через замену $x = 100 + p$.
1. Если $x_1 = 106$, то $106 = 100 + p$, откуда $p = 6$.
2. Если $x_2 = -110$, то $-110 = 100 + p$, откуда $p = -210$.
Процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной, поэтому второй корень не подходит по смыслу задачи.
Таким образом, банковская ставка в первый год составляла $6\%$.
Проверим найденное решение:
1. Сумма после первого года: $40\,000 \cdot (1 + \frac{6}{100}) = 40\,000 \cdot 1.06 = 42\,400$ рублей.
2. Ставка во второй год: $6\% + 4\% = 10\%$.
3. Сумма после второго года: $42\,400 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 42\,400 \cdot 1.1 = 46\,640$ рублей.
Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 6%.