Номер 543, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

543. Некоторый товар стоил 200 р. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а потом снизили на столько же процентов, после чего его стоимость стала 192 р. На сколько процентов каждый раз происходило изменение цены товара?

Пусть первоначальная стоимость товара равна $C_0 = 200$ рублей, а искомое число процентов равно $x$.

Сначала цену повысили на $x$ процентов. Новая стоимость товара, $C_1$, составила:
$C_1 = C_0 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) = 200 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$.

Затем полученную цену $C_1$ снизили на $x$ процентов. Итоговая стоимость, $C_2$, стала равна 192 рубля. Выразим ее через $C_1$:
$C_2 = C_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$.

Теперь подставим выражение для $C_1$ в формулу для $C_2$ и приравняем к известному значению 192, чтобы составить уравнение:
$192 = 200 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\frac{x}{100}$:
$192 = 200 \cdot \left(1^2 - \left(\frac{x}{100}\right)^2\right)$
$192 = 200 \cdot \left(1 - \frac{x^2}{10000}\right)$
Разделим обе части уравнения на 200:
$\frac{192}{200} = 1 - \frac{x^2}{10000}$
Упростим дробь в левой части:
$0.96 = 1 - \frac{x^2}{10000}$
Теперь выразим член с неизвестной:
$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.96$
$\frac{x^2}{10000} = 0.04$
Умножим обе части на 10000, чтобы найти $x^2$:
$x^2 = 0.04 \cdot 10000$
$x^2 = 400$
Извлечем квадратный корень. Поскольку процент является положительной величиной, мы берем только арифметический корень:
$x = \sqrt{400} = 20$.

Следовательно, цена товара каждый раз изменялась на 20 процентов.
Ответ: на 20 процентов.