Номер 536, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

536. (Задача Безу¹.) Некто купил коня и через некоторое время продал его за 24 пистоля. При продаже он потерял столько процентов, сколько стоил ему конь. Спрашивается: за какую сумму он купил коня?

Пусть $x$ — это первоначальная стоимость коня в пистолях. Согласно условию задачи, при продаже коня была понесена потеря в размере $x$ процентов от его первоначальной стоимости.

Сумма убытка составляет $x\%$ от $x$, что можно выразить формулой:

Убыток = $x \cdot \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$ пистолей.

Цена продажи равна первоначальной цене минус убыток. По условию, конь был продан за 24 пистоля. Составим уравнение:

$x - \frac{x^2}{100} = 24$

Для решения этого уравнения умножим все его части на 100, чтобы избавиться от дроби:

$100x - x^2 = 2400$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 100x + 2400 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-100$, $c=2400$.

$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-100) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 20}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-100) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Мы получили два возможных значения для первоначальной цены коня: 40 и 60 пистолей. Необходимо выполнить проверку для обоих вариантов.

1. Если первоначальная цена коня составляла 40 пистолей, то процент убытка также равен 40%.
Сумма убытка: $40 \cdot \frac{40}{100} = 16$ пистолей.
Цена продажи: $40 - 16 = 24$ пистоля.
Этот результат полностью соответствует условию задачи.

2. Если первоначальная цена коня составляла 60 пистолей, то процент убытка также равен 60%.
Сумма убытка: $60 \cdot \frac{60}{100} = 36$ пистолей.
Цена продажи: $60 - 36 = 24$ пистоля.
Этот результат также полностью соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения, так как оба найденных значения удовлетворяют всем условиям.

Ответ: конь был куплен за 40 пистолей или за 60 пистолей.