Номер 542, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

542. Одеяло стоило 2400 р. После того как цена была снижена дважды, оно стало стоить 1728 р., причём процент снижения во второй раз был в 2 раза больше, чем в первый. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?

Пусть начальная цена одеяла составляет $P_0 = 2400$ рублей.
Пусть $x$ — это процент, на который цена была снижена в первый раз.
Тогда во второй раз цена была снижена на $2x$ процентов, так как по условию процент снижения во второй раз был в 2 раза больше, чем в первый.

После первого снижения цены на $x$ процентов, новая цена $P_1$ составила:
$P_1 = P_0 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 2400 \cdot (1 - \frac{x}{100})$

Затем цена $P_1$ была снижена на $2x$ процентов. Итоговая цена $P_2$ стала равна 1728 рублей.
$P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{2x}{100}) = \left(2400 \cdot (1 - \frac{x}{100})\right) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Подставим известное значение $P_2$ и составим уравнение:
$1728 = 2400 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Разделим обе части уравнения на 2400:
$\frac{1728}{2400} = (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Сократим дробь в левой части:
$\frac{1728}{2400} = \frac{1728 \div 48}{2400 \div 48} = \frac{36}{50} = \frac{18}{25}$

Итак, наше уравнение имеет вид:
$\frac{18}{25} = (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 - \frac{2x}{100})$

Для удобства решения введем замену. Пусть $k = \frac{x}{100}$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{18}{25} = (1 - k)(1 - 2k)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$\frac{18}{25} = 1 - 2k - k + 2k^2$
$\frac{18}{25} = 2k^2 - 3k + 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ak^2 + bk + c = 0$:
$2k^2 - 3k + 1 - \frac{18}{25} = 0$
$2k^2 - 3k + \frac{25}{25} - \frac{18}{25} = 0$
$2k^2 - 3k + \frac{7}{25} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 25:
$50k^2 - 75k + 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 7 = 5625 - 1400 = 4225$
$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$

Найдем корни уравнения:
$k_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 + 65}{2 \cdot 50} = \frac{140}{100} = 1.4$
$k_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 - 65}{2 \cdot 50} = \frac{10}{100} = 0.1$

Вспомним, что $k = \frac{x}{100}$, где $x$ — процент снижения.
Если $k_1 = 1.4$, то $x_1 = 1.4 \cdot 100 = 140\%$. Снижение цены на 140% физически невозможно в данном контексте, так как цена не может стать отрицательной. Этот корень является посторонним.
Если $k_2 = 0.1$, то $x_2 = 0.1 \cdot 100 = 10\%$. Это значение является допустимым.

Таким образом, в первый раз цена была снижена на 10%.
Во второй раз цена была снижена на $2x = 2 \cdot 10 = 20\%$.

Проверим решение:
1. Начальная цена: 2400 р.
2. Цена после первого снижения на 10%: $2400 - 2400 \cdot 0.1 = 2400 - 240 = 2160$ р.
3. Цена после второго снижения на 20%: $2160 - 2160 \cdot 0.2 = 2160 - 432 = 1728$ р.
Полученное значение совпадает с конечной ценой из условия задачи.

Ответ: в первый раз цена снизилась на 10%, во второй раз — на 20%.