Номер 549, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

549. Чтобы получить соляную кислоту, 2 кг хлористого водорода растворили в некотором объёме воды. Потом, чтобы повысить концентрацию полученной кислоты на 25 единиц, добавили ещё 9 кг хлористого водорода. Сколько килограммов соляной кислоты было получено?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальная масса воды в килограммах.

Изначально в растворе было 2 кг хлористого водорода, растворенного в $x$ кг воды. Общая масса первого раствора (соляной кислоты) составляла $m_1 = 2 + x$ кг. Концентрация ($C_1$) этого раствора, выраженная в процентах, вычисляется по формуле: $C_1 = \frac{\text{масса растворенного вещества}}{\text{общая масса раствора}} \times 100\% = \frac{2}{2 + x} \times 100\%$

Затем в раствор добавили еще 9 кг хлористого водорода. Масса хлористого водорода в новом растворе стала $2 + 9 = 11$ кг. Общая масса нового раствора стала $m_2 = (2 + x) + 9 = 11 + x$ кг. Новая концентрация раствора ($C_2$) составила: $C_2 = \frac{11}{11 + x} \times 100\%$

По условию задачи, концентрация кислоты повысилась на 25 единиц, то есть на 25 процентных пунктов. Это можно записать в виде уравнения: $C_2 - C_1 = 25$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в уравнение: $\frac{11}{11 + x} \times 100 - \frac{2}{2 + x} \times 100 = 25$

Чтобы упростить вычисления, разделим обе части уравнения на 25: $\frac{11}{11 + x} \times 4 - \frac{2}{2 + x} \times 4 = 1$ $\frac{44}{11 + x} - \frac{8}{2 + x} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(11 + x)(2 + x)$: $44(2 + x) - 8(11 + x) = (11 + x)(2 + x)$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение: $88 + 44x - 88 - 8x = 22 + 11x + 2x + x^2$ $36x = x^2 + 13x + 22$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 13x - 36x + 22 = 0$ $x^2 - 23x + 22 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 23, а их произведение — 22. Отсюда находим два корня: $x_1 = 1$ $x_2 = 22$

Мы получили два математически верных решения для начальной массы воды. Проанализируем их с точки зрения физической осуществимости.

1. Если $x = 1$ кг: Начальная концентрация $C_1 = \frac{2}{2+1} \times 100\% \approx 66.7\%$. Конечная концентрация $C_2 = \frac{11}{11+1} \times 100\% \approx 91.7\%$. Максимальная концентрация соляной кислоты, которую можно получить при стандартных условиях, составляет около 40%. Концентрации 66.7% и 91.7% физически недостижимы, поэтому это решение не подходит.

2. Если $x = 22$ кг: Начальная концентрация $C_1 = \frac{2}{