Номер 549, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

549. Чтобы получить соляную кислоту, 2 кг хлористого водорода растворили в некотором объёме воды. Потом, чтобы повысить концентрацию полученной кислоты на 25 единиц, добавили ещё 9 кг хлористого водорода. Сколько килограммов соляной кислоты было получено?

Решим задачу, составив уравнение. Нам нужно найти конечную массу раствора.

Пусть $x$ кг — масса воды, в которой растворили хлористый водород. Масса раствора — это сумма массы воды и массы растворенного вещества.

1. Начальное состояние:
Масса вещества (HCl) = $2$ кг.
Масса всего раствора = $(x + 2)$ кг.
Концентрация (массовая доля) первой кислоты: $C_1 = \frac{2}{x + 2}$.

2. Второе состояние:
Добавили еще 9 кг HCl. Теперь масса вещества = $2 + 9 = 11$ кг.
Масса нового раствора = $(x + 2 + 9) = (x + 11)$ кг.
Концентрация второй кислоты: $C_2 = \frac{11}{x + 11}$.

3. Составим уравнение:
По условию вторая концентрация выше первой на 25 единиц (в задачах на проценты это означает 25%, или $0,25$ в виде десятичной дроби):
$\frac{11}{x + 11} - \frac{2}{x + 2} = 0,25$
Умножим обе части на $4(x + 11)(x + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$44(x + 2) - 8(x + 11) = (x + 11)(x + 2)$
$44x + 88 - 8x - 88 = x^2 + 13x + 22$
$36x = x^2 + 13x + 22$
$x^2 - 23x + 22 = 0$

4. Найдем корни уравнения:
По теореме Виета корни $x_1 = 22$ и $x_2 = 1$.
Проверим условие концентрации. Если $x = 1$, то первая концентрация $\frac{2}{1+2} = \frac{2}{3} \approx 67\%$. Если добавить 25%, получится более 90%. Но вторая концентрация будет $\frac{11}{1+11} = \frac{11}{12} \approx 91,6\%$. Однако, если $x = 22$:
$C_1 = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \approx 8,3\%$
$C_2 = \frac{11}{33} = \frac{1}{3} \approx 33,3\%$
Разница как раз составляет $33,3\% - 8,3\% = 25\%$. Подходит.

5. Найдем массу полученной кислоты:
Нас спрашивают, сколько кислоты было получено (итоговая масса раствора):
$x + 11 = 22 + 11 = 33$ кг.

Ответ: 33 кг