Страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

549. Чтобы получить соляную кислоту, 2 кг хлористого водорода растворили в некотором объёме воды. Потом, чтобы повысить концентрацию полученной кислоты на 25 единиц, добавили ещё 9 кг хлористого водорода. Сколько килограммов соляной кислоты было получено?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальная масса воды в килограммах.

Изначально в растворе было 2 кг хлористого водорода, растворенного в $x$ кг воды. Общая масса первого раствора (соляной кислоты) составляла $m_1 = 2 + x$ кг. Концентрация ($C_1$) этого раствора, выраженная в процентах, вычисляется по формуле: $C_1 = \frac{\text{масса растворенного вещества}}{\text{общая масса раствора}} \times 100\% = \frac{2}{2 + x} \times 100\%$

Затем в раствор добавили еще 9 кг хлористого водорода. Масса хлористого водорода в новом растворе стала $2 + 9 = 11$ кг. Общая масса нового раствора стала $m_2 = (2 + x) + 9 = 11 + x$ кг. Новая концентрация раствора ($C_2$) составила: $C_2 = \frac{11}{11 + x} \times 100\%$

По условию задачи, концентрация кислоты повысилась на 25 единиц, то есть на 25 процентных пунктов. Это можно записать в виде уравнения: $C_2 - C_1 = 25$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в уравнение: $\frac{11}{11 + x} \times 100 - \frac{2}{2 + x} \times 100 = 25$

Чтобы упростить вычисления, разделим обе части уравнения на 25: $\frac{11}{11 + x} \times 4 - \frac{2}{2 + x} \times 4 = 1$ $\frac{44}{11 + x} - \frac{8}{2 + x} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(11 + x)(2 + x)$: $44(2 + x) - 8(11 + x) = (11 + x)(2 + x)$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение: $88 + 44x - 88 - 8x = 22 + 11x + 2x + x^2$ $36x = x^2 + 13x + 22$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 13x - 36x + 22 = 0$ $x^2 - 23x + 22 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 23, а их произведение — 22. Отсюда находим два корня: $x_1 = 1$ $x_2 = 22$

Мы получили два математически верных решения для начальной массы воды. Проанализируем их с точки зрения физической осуществимости.

1. Если $x = 1$ кг: Начальная концентрация $C_1 = \frac{2}{2+1} \times 100\% \approx 66.7\%$. Конечная концентрация $C_2 = \frac{11}{11+1} \times 100\% \approx 91.7\%$. Максимальная концентрация соляной кислоты, которую можно получить при стандартных условиях, составляет около 40%. Концентрации 66.7% и 91.7% физически недостижимы, поэтому это решение не подходит.

2. Если $x = 22$ кг: Начальная концентрация $C_1 = \frac{2}{

550. В ёмкости было 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до предыдущего уровня водой. Потом снова отлили столько же, сколько и в первый раз, и долили водой до предыдущего уровня. Сколько килограммов жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?

Пусть $x$ кг — это количество жидкости, которое отливали каждый раз.

Изначально в ёмкости было 12 кг чистой (100%) кислоты.

Первое действие:
Отлили $x$ кг кислоты. В ёмкости осталось $(12 - x)$ кг кислоты.
Затем долили $x$ кг воды. Общая масса раствора снова стала 12 кг. Теперь это раствор, в котором $(12 - x)$ кг кислоты. Концентрация кислоты в этом растворе стала равна $\frac{12 - x}{12}$.

Второе действие:
Снова отлили $x$ кг, но на этот раз это был раствор с концентрацией кислоты $\frac{12 - x}{12}$. Количество чистой кислоты, которое отлили во второй раз, составляет: $x \cdot \frac{12 - x}{12}$ кг.
Количество кислоты, которое было до этого шага, составляло $(12 - x)$ кг. После второго отливания в ёмкости осталось кислоты: $(12 - x) - x \cdot \frac{12 - x}{12} = (12 - x) \left(1 - \frac{x}{12}\right) = (12 - x) \frac{12 - x}{12} = \frac{(12 - x)^2}{12}$ кг.

После этого снова долили $x$ кг воды, и общая масса раствора опять стала 12 кг. В результате получился 25-процентный раствор кислоты. 25% — это 0,25.

Концентрация раствора вычисляется как отношение массы чистого вещества к общей массе раствора. Составим уравнение: $\frac{\text{масса кислоты}}{\text{общая масса раствора}} = 0.25$

$\frac{\frac{(12 - x)^2}{12}}{12} = 0.25$

Решим это уравнение:

$\frac{(12 - x)^2}{144} = \frac{1}{4}$

$(12 - x)^2 = 144 \cdot \frac{1}{4}$

$(12 - x)^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

1) $12 - x = 6$
$x = 12 - 6$
$x = 6$

2) $12 - x = -6$
$x = 12 + 6$
$x = 18$

Второй корень $x = 18$ не имеет физического смысла, так как нельзя отлить 18 кг из ёмкости, в которой всего 12 кг жидкости. Следовательно, подходит только первый корень $x=6$.

Ответ: каждый раз отливали 6 кг жидкости.

551. Известно, что $-3 \le a \le 2$, $-1 \le b \le 3$. Оцените значение выражения:

1) $3a + 4b$;

2) $4a - 3b$.

Сколько целых значений принимает каждое из этих выражений?

Для решения задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны следующие условия:

$-3 \le a \le 2$

$-1 \le b \le 3$

1) 3a + 4b;

Чтобы оценить значение выражения $3a + 4b$, нам нужно найти границы для каждого слагаемого, а затем сложить полученные неравенства.

Сначала оценим выражение $3a$. Для этого умножим все части неравенства $-3 \le a \le 2$ на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot (-3) \le 3a \le 3 \cdot 2$

$-9 \le 3a \le 6$

Теперь оценим выражение $4b$. Умножим все части неравенства $-1 \le b \le 3$ на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства также сохраняются:

$4 \cdot (-1) \le 4b \le 4 \cdot 3$

$-4 \le 4b \le 12$

Теперь сложим почленно полученные неравенства:

$(-9) + (-4) \le 3a + 4b \le 6 + 12$

$-13 \le 3a + 4b \le 18$

Таким образом, мы оценили значение выражения $3a + 4b$.

Теперь найдем, сколько целых значений может принимать это выражение. Нам нужно найти количество целых чисел в отрезке $[-13, 18]$. Это можно сделать по формуле $n - m + 1$, где $n$ — верхняя граница, а $m$ — нижняя.

Количество целых значений = $18 - (-13) + 1 = 18 + 13 + 1 = 32$.

Ответ: $-13 \le 3a + 4b \le 18$; выражение принимает 32 целых значения.

2) 4a - 3b.

Для оценки выражения $4a - 3b$ представим его как сумму $4a + (-3b)$ и найдем границы для каждого слагаемого.

Сначала оценим выражение $4a$. Умножим все части неравенства $-3 \le a \le 2$ на 4:

$4 \cdot (-3) \le 4a \le 4 \cdot 2$

$-12 \le 4a \le 8$

Теперь оценим выражение $-3b$. Для этого умножим все части неравенства $-1 \le b \le 3$ на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-3 \cdot (-1) \ge -3b \ge -3 \cdot 3$

$3 \ge -3b \ge -9$

Для удобства сложения запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-9 \le -3b \le 3$

Теперь сложим почленно неравенства для $4a$ и $-3b$:

$(-12) + (-9) \le 4a + (-3b) \le 8 + 3$

$-21 \le 4a - 3b \le 11$

Таким образом, мы оценили значение выражения $4a - 3b$.

Найдем количество целых значений в отрезке $[-21, 11]$:

Количество целых значений = $11 - (-21) + 1 = 11 + 21 + 1 = 33$.

Ответ: $-21 \le 4a - 3b \le 11$; выражение принимает 33 целых значения.

552. При каких значениях c трёхчлен $2x^2 - 2x + 5c$ принимает положительные значения при любом значении $x$?

Требуется найти значения параметра $c$, при которых трёхчлен $2x^2 - 2x + 5c$ принимает положительные значения для любого значения $x$. Это равносильно решению неравенства $2x^2 - 2x + 5c > 0$ для всех действительных чисел $x$.

Выражение $y = 2x^2 - 2x + 5c$ является квадратичной функцией, графиком которой является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при старшем члене $x^2$ равен $a=2$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Чтобы парабола с ветвями вверх всегда принимала положительные значения ($y > 0$), она должна полностью располагаться выше оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что у параболы не должно быть точек пересечения или касания с осью $Ox$.

3. Условием отсутствия действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ является отрицательность его дискриминанта ($D < 0$).

4. Найдем дискриминант для нашего трёхчлена $2x^2 - 2x + 5c$. В данном случае коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -2$, а свободный член (в стандартной формуле обозначаемый как $c$) равен $5c$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши значения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5c) = 4 - 40c$.

5. Теперь решим неравенство $D < 0$: $4 - 40c < 0$

Перенесем 4 в правую часть: $-40c < -4$

Разделим обе части неравенства на $-40$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $c > \frac{-4}{-40}$ $c > \frac{4}{40}$ $c > \frac{1}{10}$

Итак, при $c > \frac{1}{10}$ (или $c > 0.1$) дискриминант будет отрицательным, и, следовательно, трёхчлен $2x^2 - 2x + 5c$ будет принимать положительные значения при любом значении $x$.

Ответ: $c > 0.1$

553. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13, \\ x + y = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + xy - y = 13, \\ x - y = 3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13, \\ x + y = 4. \end{cases} $$

Данную систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + x(4 - x) + (4 - x)^2 = 13$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 4x - x^2 + 16 - 8x + x^2 = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 16 = 13$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 4 - x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$.

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + xy - y = 13, \\ x - y = 3. \end{cases} $$

Сгруппируем слагаемые в первом уравнении:

$(x - y) + xy = 13$

Из второго уравнения известно, что $x - y = 3$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$3 + xy = 13$

Отсюда найдем произведение $xy$:

$xy = 13 - 3$

$xy = 10$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 10. \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y + 3)y = 10$

$y^2 + 3y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = y + 3$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(5, 2)$ и $(-2, -5)$.

Ответ: $(5, 2)$, $(-2, -5)$.

554. Каждая школа района делегировала трёх своих учеников для участия в олимпиаде. Андрей, Пётр и Елена представляли лицей «Лидер».

Перед началом олимпиады всех участников выстроили в шеренгу и последовательно выдали номера участников. Андрей заметил, что после него в шеренге стоит столько же участников, сколько до него.

Кроме того, Пётр и Елена оказались стоящими после Андрея и получили номера участников 19 и 28 соответственно. Сколько школ в этом районе?

Обозначим общее количество участников олимпиады через $N$. Поскольку всем участникам, выстроенным в шеренгу, последовательно выдали номера, то нумерация идет от 1 до $N$.

Андрей заметил, что после него в шеренге стоит столько же участников, сколько и до него. Это означает, что Андрей находится ровно в центре шеренги. Пусть номер Андрея — $A$. Тогда количество участников перед ним равно $A - 1$, а количество участников после него равно $N - A$.

Из условия равенства этих количеств получаем уравнение: $A - 1 = N - A$

Выразим из этого уравнения общее число участников $N$: $2A = N + 1$ $N = 2A - 1$ Это уравнение показывает, что общее количество участников $N$ — нечетное число.

По условию, Пётр (номер 19) и Елена (номер 28) стояли в шеренге после Андрея. Это означает, что их номера больше номера Андрея: $A < 19$ и $A < 28$. Отсюда следует, что $A < 19$.

Также, поскольку Елена с номером 28 является участницей, общее число участников $N$ не может быть меньше 28. Таким образом, $N \geq 28$.

Теперь объединим все условия. Подставим выражение $N = 2A - 1$ в неравенство $N \geq 28$: $2A - 1 \geq 28$ $2A \geq 29$ $A \geq 14.5$

Мы получили два ограничения для номера Андрея $A$: $A \geq 14.5$ и $A < 19$. Так как номер участника — это целое число, то возможными значениями для $A$ являются 15, 16, 17 и 18.

Рассчитаем возможное общее количество участников $N$ для каждого из этих значений $A$ по формуле $N = 2A - 1$:

• Если $A = 15$, то $N = 2 \times 15 - 1 = 29$.
• Если $A = 16$, то $N = 2 \times 16 - 1 = 31$.
• Если $A = 17$, то $N = 2 \times 17 - 1 = 33$.
• Если $A = 18$, то $N = 2 \times 18 - 1 = 35$.

Согласно начальному условию, каждая школа района делегировала трёх учеников. Следовательно, общее количество участников $N$ должно быть кратно 3. Проверим наши возможные значения $N$:

• 29 не делится на 3.
• 31 не делится на 3.
• 33 делится на 3 ($33 \div 3 = 11$).
• 35 не делится на 3.

Единственное значение, удовлетворяющее всем условиям, — $N = 33$.

Чтобы найти количество школ, нужно общее число участников разделить на количество учеников от каждой школы: Количество школ = $33 \div 3 = 11$.

Ответ: 11 школ.