Страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правило суммы.

Правило суммы (также известное как принцип сложения) — это базовый принцип в комбинаторике, который применяется для подсчета общего числа вариантов, когда необходимо выполнить одно из нескольких взаимоисключающих действий.

Формулируется оно следующим образом: если объект A можно выбрать $n$ способами, а объект B можно выбрать $m$ способами, и при этом выбор A исключает одновременный выбор B, то выбор «либо A, либо B» можно совершить $n + m$ способами.

Например, если в коробке лежат 8 красных и 5 синих шаров, то выбрать один шар (либо красный, либо синий) можно $8 + 5 = 13$ способами. Здесь выбор красного шара и выбор синего шара являются взаимоисключающими событиями, так как нельзя вытащить один шар, который был бы одновременно и красным, и синим.

В терминах теории множеств правило суммы можно описать так: для двух конечных множеств $A$ и $B$, которые не имеют общих элементов (их пересечение пусто, $A \cap B = \emptyset$), количество элементов в их объединении ($A \cup B$) равно сумме количеств элементов в каждом из множеств:

$$|A \cup B| = |A| + |B|$$

Это правило естественным образом обобщается на любое конечное число попарно непересекающихся множеств. Если есть $k$ множеств $A_1, A_2, \dots, A_k$ таких, что $A_i \cap A_j = \emptyset$ для любых $i \neq j$, то:

$$|\bigcup_{i=1}^{k} A_i| = \sum_{i=1}^{k} |A_i|$$

Ответ: Если действие А можно выполнить $n$ способами, а действие Б можно выполнить $m$ способами, и эти два действия взаимоисключающие (не могут быть выполнены одновременно), то выполнить одно из этих действий (А или Б) можно $n + m$ способами.

2. Сформулируйте правило произведения.

Вопрос "Сформулируйте правило произведения" может относиться к двум разным областям математики: комбинаторике и математическому анализу. Так как контекст не указан, приведём обе формулировки.

Правило произведения в комбинаторике

Это один из основных принципов комбинаторики, который используется для подсчёта общего числа способов совершить последовательность из нескольких независимых действий. Формулировка правила следующая:

Если объект А можно выбрать $m$ способами и после каждого такого выбора объект Б можно выбрать $n$ способами, то выбрать упорядоченную пару (А, Б) можно $m \times n$ способами.

Данное правило обобщается на любое количество действий. Если нужно выполнить $k$ действий последовательно, и первое можно выполнить $n_1$ способами, второе — $n_2$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность равно произведению:

$N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$

Пример: В меню кафе есть 4 вида супа, 7 видов второго блюда и 3 вида напитка. Выбрать комплексный обед, состоящий из одного супа, одного второго и одного напитка, можно $4 \times 7 \times 3 = 84$ способами.

Ответ: Правило произведения в комбинаторике гласит, что если действие А можно выполнить $m$ способами, а после этого действие Б можно выполнить $n$ способами, то последовательность действий А и Б можно выполнить $m \times n$ способами.

Правило произведения в математическом анализе (правило дифференцирования)

В дифференциальном исчислении это правило, также известное как правило Лейбница, применяется для нахождения производной произведения двух функций. Формулировка правила:

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.

Математически для функций $u(x)$ и $v(x)$ это записывается так:

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

Пример: Найти производную функции $f(x) = x \sin(x)$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sin(x)$. Тогда их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \cos(x)$.

Согласно правилу произведения:

$f'(x) = (x)' \sin(x) + x (\sin(x))' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x)$.

Ответ: Правило произведения для нахождения производной гласит, что производная произведения двух функций $u$ и $v$ вычисляется по формуле $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Рис. 87

576. Из города $A$ в город $B$ ведут 4 дороги, а из города $B$ в город $C$ ведут 3 дороги (рис. 87). Сколькими способами можно проехать из города $A$ в город $C$?

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Чтобы добраться из города А в город С, необходимо последовательно проехать два участка пути: от А до В и от В до С.

1. Этап 1: Путь из города А в город В.
Согласно условию, из города А в город В ведут 4 дороги. Следовательно, у нас есть 4 способа выбрать путь для этого этапа.

2. Этап 2: Путь из города В в город С.
Из города В в город С ведут 3 дороги. Значит, для этого этапа существует 3 способа выбора пути.

Поскольку выбор дороги на втором этапе не зависит от выбора дороги на первом, общее количество способов проехать из А в С равно произведению числа способов на каждом этапе.

Вычисляем общее количество способов: $4 \times 3 = 12$

Таким образом, существует 12 различных способов проехать из города А в город С.

Ответ: 12.

577. Кафе предлагает в меню 3 первых блюда, 6 вторых блюд и 5 третьих блюд. Сколько существует способов выбрать обед из трёх блюд (по одному блюду каждого вида)?

Для того чтобы определить общее количество способов выбрать обед из трёх блюд, необходимо воспользоваться комбинаторным правилом умножения. Это правило гласит, что если элемент A можно выбрать $n_1$ способами, элемент B — $n_2$ способами, а элемент C — $n_3$ способами, то общее число способов выбрать все три элемента вместе равно произведению числа способов для каждого элемента.

В данном случае у нас есть три категории блюд:

• Первые блюда: 3 варианта выбора.
• Вторые блюда: 6 вариантов выбора.
• Третьи блюда: 5 вариантов выбора.

Обед должен состоять из одного блюда каждой категории. Выбор блюда в одной категории не влияет на выбор в другой. Поэтому мы можем перемножить количество вариантов для каждой категории, чтобы найти общее количество возможных обедов.

Пусть $N$ — общее количество способов. Тогда:

$N = (\text{количество первых блюд}) \times (\text{количество вторых блюд}) \times (\text{количество третьих блюд})$

Подставим заданные значения:

$N = 3 \times 6 \times 5$

Вычислим произведение:

$N = 18 \times 5 = 90$

Таким образом, существует 90 различных способов составить обед из одного первого, одного второго и одного третьего блюда.

Ответ: 90.

578. Будем рассматривать слоги из двух букв, первая из которых является согласной, а вторая – гласной. Сколько таких различных слогов можно составить из букв слова:

1) весна;

2) косоворотка?

Для решения задачи нужно найти количество уникальных согласных и уникальных гласных букв в каждом слове. Общее количество различных слогов, которые можно составить по правилу "согласная + гласная", равно произведению количества уникальных согласных на количество уникальных гласных.

1) весна;

В слове "весна" все буквы разные. Выделим согласные и гласные буквы:

• Согласные: в, с, н (всего 3 буквы).
• Гласные: е, а (всего 2 буквы).

Количество различных слогов, которые можно составить, равно произведению числа согласных на число гласных: $3 \times 2 = 6$.
Ответ: 6

2) косоворотка?

В слове "косоворотка" есть повторяющиеся буквы. Сначала выпишем все уникальные буквы этого слова: {к, о, с, в, р, т, а}. Теперь из этого набора уникальных букв выделим согласные и гласные:

• Уникальные согласные: к, с, в, р, т (всего 5 букв).
• Уникальные гласные: о, а (всего 2 буквы).

Количество различных слогов, которые можно составить, равно произведению числа уникальных согласных на число уникальных гласных: $5 \times 2 = 10$.
Ответ: 10