Номер 2, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Сформулируйте правило произведения.

Вопрос "Сформулируйте правило произведения" может относиться к двум разным областям математики: комбинаторике и математическому анализу. Так как контекст не указан, приведём обе формулировки.

Правило произведения в комбинаторике

Это один из основных принципов комбинаторики, который используется для подсчёта общего числа способов совершить последовательность из нескольких независимых действий. Формулировка правила следующая:

Если объект А можно выбрать $m$ способами и после каждого такого выбора объект Б можно выбрать $n$ способами, то выбрать упорядоченную пару (А, Б) можно $m \times n$ способами.

Данное правило обобщается на любое количество действий. Если нужно выполнить $k$ действий последовательно, и первое можно выполнить $n_1$ способами, второе — $n_2$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность равно произведению:

$N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$

Пример: В меню кафе есть 4 вида супа, 7 видов второго блюда и 3 вида напитка. Выбрать комплексный обед, состоящий из одного супа, одного второго и одного напитка, можно $4 \times 7 \times 3 = 84$ способами.

Ответ: Правило произведения в комбинаторике гласит, что если действие А можно выполнить $m$ способами, а после этого действие Б можно выполнить $n$ способами, то последовательность действий А и Б можно выполнить $m \times n$ способами.

Правило произведения в математическом анализе (правило дифференцирования)

В дифференциальном исчислении это правило, также известное как правило Лейбница, применяется для нахождения производной произведения двух функций. Формулировка правила:

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.

Математически для функций $u(x)$ и $v(x)$ это записывается так:

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

Пример: Найти производную функции $f(x) = x \sin(x)$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sin(x)$. Тогда их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \cos(x)$.

Согласно правилу произведения:

$f'(x) = (x)' \sin(x) + x (\sin(x))' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x)$.

Ответ: Правило произведения для нахождения производной гласит, что производная произведения двух функций $u$ и $v$ вычисляется по формуле $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.