Номер 573, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

573. Тракторист должен был за определённое время вспахать поле площадью 180 га. Однако ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на 1 день раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

За сколько дней тракторист вспахал поле?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $d$ - это фактическое количество дней, за которое тракторист вспахал поле. Это и есть искомая величина.

Общая площадь поля, которую нужно было вспахать, составляет 180 га.

Исходя из этого, фактическая ежедневная производительность тракториста (площадь, вспахиваемая за один день) составляет $P_{факт} = \frac{180}{d}$ га/день.

Согласно условию, тракторист закончил работу на 1 день раньше запланированного срока. Следовательно, плановое время работы составляло $t_{план} = d + 1$ день.

Тогда плановая ежедневная производительность была бы равна $P_{план} = \frac{180}{d+1}$ га/день.

В задаче также указано, что фактическая производительность была на 2 га в день больше плановой. На основе этого можно составить уравнение:

$P_{факт} = P_{план} + 2$

Подставим в это уравнение выражения для фактической и плановой производительности:

$\frac{180}{d} = \frac{180}{d+1} + 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$. Перенесём слагаемое с переменной в левую часть:

$\frac{180}{d} - \frac{180}{d+1} = 2$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $d(d+1)$:

$\frac{180(d+1) - 180d}{d(d+1)} = 2$

Упростим числитель дроби:

$\frac{180d + 180 - 180d}{d^2 + d} = 2$

$\frac{180}{d^2 + d} = 2$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $d^2 + d$ (поскольку $d$ - это количество дней, $d > 0$, следовательно, знаменатель не равен нулю):

$180 = 2(d^2 + d)$

Разделим обе части на 2:

$90 = d^2 + d$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$d^2 + d - 90 = 0$

Найдём корни этого квадратного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета: произведение корней равно $-90$, а их сумма равна $-1$. Подбором находим корни: $d_1 = 9$ и $d_2 = -10$.

Так как $d$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $d_2 = -10$ не имеет физического смысла в контексте задачи и является посторонним.

Единственным подходящим решением является $d = 9$. Таким образом, тракторист вспахал поле за 9 дней.

Ответ: 9 дней.