Номер 574, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

574. Постройте график функции $y = \frac{5x - 15}{3x - x^2}$.

Для построения графика функции $y = \frac{5x - 15}{3x - x^2}$ необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$3x - x^2 \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(3 - x) \neq 0$
Это равенство нарушается при $x = 0$ и $x = 3$.
Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростить выражение функции.
Разложим на множители числитель и знаменатель:
Числитель: $5x - 15 = 5(x - 3)$.
Знаменатель: $3x - x^2 = -x(x - 3)$.
Подставим полученные выражения в исходную функцию:
$y = \frac{5(x - 3)}{-x(x - 3)}$
Так как из области определения известно, что $x \neq 3$, можно сократить дробь на $(x - 3)$:
$y = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x}$.

3. Проанализировать и построить график.
Мы получили, что на всей области определения, кроме точки $x=3$, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{5}{x}$.
График функции $y = -\frac{5}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.
Асимптотами графика являются оси координат:

• вертикальная асимптота: $x = 0$;
• горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Исходная функция не определена в точке $x = 3$. Это означает, что на графике гиперболы $y = -\frac{5}{x}$ будет "выколотая" точка. Найдем ее ординату, подставив $x = 3$ в упрощенную формулу:
$y = -\frac{5}{3} \approx -1.67$.
Следовательно, точка с координатами $(3; -5/3)$ не принадлежит графику.
Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих гиперболе:
при $x = -5, y = 1$;
при $x = -2.5, y = 2$;
при $x = -1, y = 5$;
при $x = 1, y = -5$;
при $x = 2.5, y = -2$;
при $x = 5, y = -1$.
Теперь можно построить график: чертим гиперболу $y = -\frac{5}{x}$ и отмечаем на ней выколотую точку $(3; -5/3)$ в виде небольшого пустого кружка.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{5x - 15}{3x - x^2}$ является гипербола $y = -\frac{5}{x}$ с выколотой точкой $(3; -5/3)$.