Номер 575, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

575. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{9 - 8x - x^2} + \frac{x + 3}{x^2 - 2x}$

2) $y = \sqrt{6x - x^2} + \frac{3}{\sqrt{x - 3}}$

1) $y = \sqrt{9 - 8x - x^2} + \frac{x+3}{x^2 - 2x}$

Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых, поэтому для нахождения области определения необходимо, чтобы оба слагаемых были определены. Рассмотрим условия для каждого слагаемого.

1. Для слагаемого $\sqrt{9 - 8x - x^2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$9 - 8x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 8x - 9 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{-8 - 10}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1$

Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 8x - 9$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 8x - 9 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [-9, 1]$.

2. Для слагаемого $\frac{x+3}{x^2 - 2x}$ знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - 2x \ne 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) \ne 0$

Отсюда следует, что $x \ne 0$ и $x \ne 2$.

3. Теперь найдем пересечение полученных множеств. Область определения функции — это все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \in [-9, 1]$ и при этом $x \ne 0$ и $x \ne 2$.

Значение $x=2$ не входит в промежуток $[-9, 1]$, поэтому это условие уже выполнено. Значение $x=0$ входит в промежуток $[-9, 1]$, поэтому его необходимо исключить.

Исключая точку $x=0$ из отрезка $[-9, 1]$, получаем объединение двух промежутков: $[-9, 0) \cup (0, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-9, 0) \cup (0, 1]$.

2) $y = \sqrt{6x - x^2} + \frac{3}{\sqrt{x-3}}$

Данная функция также является суммой двух слагаемых. Найдем область определения для каждого из них.

1. Для слагаемого $\sqrt{6x - x^2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$6x - x^2 \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(6 - x) \ge 0$

Найдем корни уравнения $x(6 - x) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Ветви параболы $y = 6x - x^2$ направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), поэтому неравенство $6x - x^2 \ge 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, $x \in [0, 6]$.

2. Для слагаемого $\frac{3}{\sqrt{x-3}}$ подкоренное выражение находится в знаменателе. Это накладывает два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным, и сам знаменатель не должен равняться нулю. Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем должно быть строго положительным:

$x - 3 > 0$

Отсюда следует, что $x > 3$, то есть $x \in (3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных множеств, чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно: $x \in [0, 6]$ и $x \in (3, +\infty)$.

Пересечением этих двух промежутков является множество всех $x$, которые больше 3 и при этом меньше или равны 6. То есть $3 < x \le 6$.

В виде промежутка это записывается как $(3, 6]$.

Ответ: $D(y) = (3, 6]$.