Номер 582, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

582. На вершину горы ведёт 5 маршрутов. Сколькими способами альпинист может подняться на гору и спуститься с неё? Ответьте на этот вопрос также при условии, что подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам.

Сколькими способами альпинист может подняться на гору и спуститься с неё?

Эта задача решается с помощью правила произведения в комбинаторике. Весь путь альпиниста состоит из двух независимых друг от друга действий: подъёма и спуска.

1. Выбор маршрута для подъёма. Согласно условию, на вершину горы ведёт 5 маршрутов. Следовательно, у альпиниста есть 5 способов для подъёма.

2. Выбор маршрута для спуска. Так как в данном случае нет никаких ограничений, для спуска альпинист также может выбрать любой из 5 маршрутов.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждого действия: $N = 5 \times 5 = 25$

Ответ: 25 способами.

При условии, что подъём и спуск должны проходить по разным маршрутам

В этом случае выбор маршрута для спуска становится зависимым от выбора маршрута для подъёма.

1. Выбор маршрута для подъёма. Как и в предыдущем случае, у альпиниста есть 5 вариантов маршрута для подъёма.

2. Выбор маршрута для спуска. После того как один маршрут был использован для подъёма, его нельзя использовать для спуска. Таким образом, количество доступных маршрутов для спуска уменьшается на один: $5 - 1 = 4$ способа.

Общее количество способов снова находится по правилу произведения: $N = 5 \times 4 = 20$

Эту задачу можно также решить с помощью формулы для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$. В нашем случае мы выбираем и располагаем в определённом порядке (подъём, затем спуск) 2 маршрута из 5 имеющихся ($n=5, k=2$): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ $A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$

Ответ: 20 способами.