Номер 584, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

584. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько различных комбинаций можно составить из заданного набора цифр. Нам даны 6 цифр: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, из которых нужно составить четырёхзначные числа. Поскольку в условии не указано, могут ли цифры в числе повторяться, рассмотрим оба возможных сценария.

1. Если цифры в числе могут повторяться

В этом случае для каждой из четырёх позиций в четырёхзначном числе (разряд тысяч, сотен, десятков и единиц) мы можем выбрать любую из шести доступных цифр.
- Для первой цифры (тысяч) существует 6 вариантов.
- Для второй цифры (сотен) также существует 6 вариантов, так как повторения разрешены.
- Для третьей цифры (десятков) — 6 вариантов.
- Для четвертой цифры (единиц) — 6 вариантов.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел находится перемножением количества вариантов для каждой позиции. Такие комбинации называются размещениями с повторениями, и их число вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n$ — количество элементов, из которых мы выбираем (у нас $n=6$), а $k$ — количество позиций, которые мы заполняем (у нас $k=4$).

Таким образом, количество чисел равно: $6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$.

Ответ: можно записать 1296 четырёхзначных чисел.

2. Если все цифры в числе должны быть различны

В этом случае выбранная цифра не может быть использована повторно.
- Для первой цифры (тысяч) есть 6 вариантов выбора.
- После того как первая цифра выбрана, для второй цифры (сотен) остаётся 5 вариантов.
- Для третьей цифры (десятков) остаётся 4 неиспользованных варианта.
- Наконец, для четвертой цифры (единиц) остаётся 3 варианта.

Общее количество чисел находим, перемножая количество доступных вариантов для каждой позиции. Это классический пример размещений без повторений. Формула для их подсчета: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество чисел равно: $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.

Проверим по формуле: $A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.

Ответ: можно записать 360 четырёхзначных чисел.

Примечание: Как правило, в задачах такого типа, если не оговорено иное, предполагается, что цифры могут повторяться. Следовательно, наиболее вероятным ответом на задачу является 1296.