Номер 589, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

589. В школе 20 классов и 20 классных руководителей. Сколькими способами можно распределить классное руководство между учителями?

Данная задача заключается в нахождении количества способов, которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами, состоящими из 20 элементов каждое: множеством классов и множеством учителей. Это классическая задача на вычисление числа перестановок.

Представим процесс распределения пошагово:

Для первого класса мы можем выбрать любого из 20 учителей. Таким образом, у нас есть 20 вариантов.

После того как руководитель назначен первому классу, для второго класса остается 19 учителей на выбор. Это дает нам 19 вариантов.

Для третьего класса остается 18 учителей, то есть 18 вариантов.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока мы не дойдем до последнего, двадцатого класса. Для него останется только один учитель, что означает 1 вариант выбора.

Чтобы найти общее количество способов распределения, необходимо перемножить количество вариантов на каждом шаге. Это произведение соответствует числу перестановок из 20 элементов.

Число перестановок из $n$ элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле: $P_n = n!$ где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае $n=20$, поэтому общее количество способов равно $20!$: $20! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 19 \times 20$

Вычислим значение факториала: $20! = 2 \, 432 \, 902 \, 008 \, 176 \, 640 \, 000$

Следовательно, существует огромное количество способов распределить 20 учителей по 20 классам.
Ответ: $2 \, 432 \, 902 \, 008 \, 176 \, 640 \, 000$ способов.