Номер 553, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

553. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13, \\ x + y = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + xy - y = 13, \\ x - y = 3. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13, \\ x + y = 4. \end{cases} $$

Данную систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + x(4 - x) + (4 - x)^2 = 13$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 4x - x^2 + 16 - 8x + x^2 = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 16 = 13$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 4 - x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$.

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + xy - y = 13, \\ x - y = 3. \end{cases} $$

Сгруппируем слагаемые в первом уравнении:

$(x - y) + xy = 13$

Из второго уравнения известно, что $x - y = 3$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$3 + xy = 13$

Отсюда найдем произведение $xy$:

$xy = 13 - 3$

$xy = 10$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 10. \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(y + 3)y = 10$

$y^2 + 3y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = y + 3$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(5, 2)$ и $(-2, -5)$.

Ответ: $(5, 2)$, $(-2, -5)$.