Номер 550, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

550. В ёмкости было 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до предыдущего уровня водой. Потом снова отлили столько же, сколько и в первый раз, и долили водой до предыдущего уровня. Сколько килограммов жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?

Пусть $x$ кг — это количество жидкости, которое отливали каждый раз.

Изначально в ёмкости было 12 кг чистой (100%) кислоты.

Первое действие:
Отлили $x$ кг кислоты. В ёмкости осталось $(12 - x)$ кг кислоты.
Затем долили $x$ кг воды. Общая масса раствора снова стала 12 кг. Теперь это раствор, в котором $(12 - x)$ кг кислоты. Концентрация кислоты в этом растворе стала равна $\frac{12 - x}{12}$.

Второе действие:
Снова отлили $x$ кг, но на этот раз это был раствор с концентрацией кислоты $\frac{12 - x}{12}$. Количество чистой кислоты, которое отлили во второй раз, составляет: $x \cdot \frac{12 - x}{12}$ кг.
Количество кислоты, которое было до этого шага, составляло $(12 - x)$ кг. После второго отливания в ёмкости осталось кислоты: $(12 - x) - x \cdot \frac{12 - x}{12} = (12 - x) \left(1 - \frac{x}{12}\right) = (12 - x) \frac{12 - x}{12} = \frac{(12 - x)^2}{12}$ кг.

После этого снова долили $x$ кг воды, и общая масса раствора опять стала 12 кг. В результате получился 25-процентный раствор кислоты. 25% — это 0,25.

Концентрация раствора вычисляется как отношение массы чистого вещества к общей массе раствора. Составим уравнение: $\frac{\text{масса кислоты}}{\text{общая масса раствора}} = 0.25$

$\frac{\frac{(12 - x)^2}{12}}{12} = 0.25$

Решим это уравнение:

$\frac{(12 - x)^2}{144} = \frac{1}{4}$

$(12 - x)^2 = 144 \cdot \frac{1}{4}$

$(12 - x)^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

1) $12 - x = 6$
$x = 12 - 6$
$x = 6$

2) $12 - x = -6$
$x = 12 + 6$
$x = 18$

Второй корень $x = 18$ не имеет физического смысла, так как нельзя отлить 18 кг из ёмкости, в которой всего 12 кг жидкости. Следовательно, подходит только первый корень $x=6$.

Ответ: каждый раз отливали 6 кг жидкости.