Номер 548, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

548. В цистерне находилась концентрированная серная кислота, содержавшая 2 т воды. После того как эту кислоту смешали с 4 т воды, концентрация её снизилась на 15 единиц. Сколько тонн кислоты было в цистерне первоначально?

Пусть $x$ тонн — масса чистой серной кислоты (вещества) в цистерне.
Изначально в растворе было 2 тонны воды.
Следовательно, первоначальная общая масса раствора (кислоты) составляла $M_1 = (x + 2)$ тонн.

Концентрация вещества в растворе — это отношение массы чистого вещества к общей массе раствора. Первоначальная концентрация $C_1$ была:

$C_1 = \frac{x}{x+2}$

После того как к раствору добавили 4 тонны воды, масса воды в новом растворе стала $2 + 4 = 6$ тонн.
Общая масса нового раствора стала $M_2 = (x + 6)$ тонн.
Новая концентрация $C_2$ стала:

$C_2 = \frac{x}{x+6}$

По условию, концентрация снизилась на 15 единиц, что в долях составляет 0,15. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$C_1 - C_2 = 0.15$

$\frac{x}{x+2} - \frac{x}{x+6} = 0.15$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{x(x+6) - x(x+2)}{(x+2)(x+6)} = 0.15$

$\frac{x^2 + 6x - x^2 - 2x}{x^2 + 8x + 12} = 0.15$

$\frac{4x}{x^2 + 8x + 12} = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot 4x = 3 \cdot (x^2 + 8x + 12)$

$80x = 3x^2 + 24x + 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 24x - 80x + 36 = 0$

$3x^2 - 56x + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 3136 - 432 = 2704$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 52}{2 \cdot 3} = \frac{108}{6} = 18$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 52}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Мы получили два возможных значения для массы чистой кислоты. Проверим оба варианта.

Случай 1: $x = 18$ тонн.
Первоначальная концентрация: $C_1 = \frac{18}{18+2} = \frac{18}{20} = 0.9$, или 90%.
Конечная концентрация: $C_2 = \frac{18}{18+6} = \frac{18}{24} = 0.75$, или 75%.
Разница концентраций: $90\% - 75\% = 15\%$. Этот вариант подходит.
Концентрация 90% соответствует понятию "концентрированная кислота".

Случай 2: $x = \frac{2}{3}$ тонны.
Первоначальная концентрация: $C_1 = \frac{2/3}{2/3+2} = \frac{2/3}{8/3} = \frac{2}{8} = 0.25$, или 25%.
Конечная концентрация: $C_2 = \frac{2/3}{2/3+6} = \frac{2/3}{20/3} = \frac{2}{20} = 0.1$, или 10%.
Разница концентраций: $25\% - 10\% = 15\%$. Этот вариант также математически верен.
Однако, 25% раствор серной кислоты обычно не называют концентрированным. Поэтому этот корень, скорее всего, не соответствует условию задачи.

Исходя из того, что в условии речь идет о концентрированной кислоте, выбираем первый вариант, где масса чистой кислоты $x = 18$ тонн.

Вопрос задачи — "Сколько тонн кислоты было в цистерне первоначально?". Под "кислотой" здесь понимается весь раствор. Найдем его первоначальную массу:

$M_1 = x + 2 = 18 + 2 = 20$ тонн.

Ответ: 20 тонн.