Номер 554, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

554. Каждая школа района делегировала трёх своих учеников для участия в олимпиаде. Андрей, Пётр и Елена представляли лицей «Лидер».

Перед началом олимпиады всех участников выстроили в шеренгу и последовательно выдали номера участников. Андрей заметил, что после него в шеренге стоит столько же участников, сколько до него.

Кроме того, Пётр и Елена оказались стоящими после Андрея и получили номера участников 19 и 28 соответственно. Сколько школ в этом районе?

Обозначим общее количество участников олимпиады через $N$. Поскольку всем участникам, выстроенным в шеренгу, последовательно выдали номера, то нумерация идет от 1 до $N$.

Андрей заметил, что после него в шеренге стоит столько же участников, сколько и до него. Это означает, что Андрей находится ровно в центре шеренги. Пусть номер Андрея — $A$. Тогда количество участников перед ним равно $A - 1$, а количество участников после него равно $N - A$.

Из условия равенства этих количеств получаем уравнение: $A - 1 = N - A$

Выразим из этого уравнения общее число участников $N$: $2A = N + 1$ $N = 2A - 1$ Это уравнение показывает, что общее количество участников $N$ — нечетное число.

По условию, Пётр (номер 19) и Елена (номер 28) стояли в шеренге после Андрея. Это означает, что их номера больше номера Андрея: $A < 19$ и $A < 28$. Отсюда следует, что $A < 19$.

Также, поскольку Елена с номером 28 является участницей, общее число участников $N$ не может быть меньше 28. Таким образом, $N \geq 28$.

Теперь объединим все условия. Подставим выражение $N = 2A - 1$ в неравенство $N \geq 28$: $2A - 1 \geq 28$ $2A \geq 29$ $A \geq 14.5$

Мы получили два ограничения для номера Андрея $A$: $A \geq 14.5$ и $A < 19$. Так как номер участника — это целое число, то возможными значениями для $A$ являются 15, 16, 17 и 18.

Рассчитаем возможное общее количество участников $N$ для каждого из этих значений $A$ по формуле $N = 2A - 1$:

• Если $A = 15$, то $N = 2 \times 15 - 1 = 29$.
• Если $A = 16$, то $N = 2 \times 16 - 1 = 31$.
• Если $A = 17$, то $N = 2 \times 17 - 1 = 33$.
• Если $A = 18$, то $N = 2 \times 18 - 1 = 35$.

Согласно начальному условию, каждая школа района делегировала трёх учеников. Следовательно, общее количество участников $N$ должно быть кратно 3. Проверим наши возможные значения $N$:

• 29 не делится на 3.
• 31 не делится на 3.
• 33 делится на 3 ($33 \div 3 = 11$).
• 35 не делится на 3.

Единственное значение, удовлетворяющее всем условиям, — $N = 33$.

Чтобы найти количество школ, нужно общее число участников разделить на количество учеников от каждой школы: Количество школ = $33 \div 3 = 11$.

Ответ: 11 школ.