Номер 546, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

546. К сплаву меди и цинка, содержавшему меди на 12 кг больше, чем цинка, добавили 6 кг меди. Вследствие этого процентное содержание цинка в сплаве снизилось на 5 единиц. Сколько килограммов цинка и сколько килограммов меди содержал сплав первоначально?

Пусть первоначально в сплаве было $z$ кг цинка и $m$ кг меди.

Согласно условию, меди в сплаве было на 12 кг больше, чем цинка. Это можно выразить уравнением: $m = z + 12$

Общая масса первоначального сплава составляла $M_1 = m + z = (z + 12) + z = 2z + 12$ кг.

Процентное содержание цинка в первоначальном сплаве равно: $P_1 = \frac{\text{масса цинка}}{\text{общая масса}} \times 100 = \frac{z}{2z + 12} \times 100$

После того как к сплаву добавили 6 кг меди, масса меди стала $m_{new} = m + 6 = (z + 12) + 6 = z + 18$ кг. Масса цинка осталась прежней.

Новая общая масса сплава стала $M_2 = M_1 + 6 = (2z + 12) + 6 = 2z + 18$ кг.

Новое процентное содержание цинка в сплаве равно: $P_2 = \frac{\text{масса цинка}}{\text{новая общая масса}} \times 100 = \frac{z}{2z + 18} \times 100$

По условию, процентное содержание цинка снизилось на 5 единиц. Это означает, что разница между первоначальным и новым процентным содержанием составляет 5: $P_1 - P_2 = 5$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$ в это уравнение: $\frac{100z}{2z + 12} - \frac{100z}{2z + 18} = 5$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить его: $\frac{20z}{2z + 12} - \frac{20z}{2z + 18} = 1$

Вынесем общий множитель $20z$ за скобки в левой части и приведем дроби к общему знаменателю: $20z \left( \frac{1}{2z + 12} - \frac{1}{2z + 18} \right) = 1$ $20z \left( \frac{(2z + 18) - (2z + 12)}{(2z + 12)(2z + 18)} \right) = 1$

Упростим числитель в скобках: $2z + 18 - 2z - 12 = 6$. Уравнение принимает вид: $20z \left( \frac{6}{(2z + 12)(2z + 18)} \right) = 1$ $\frac{120z}{(2z + 12)(2z + 18)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель (при условии $z > 0$, он не равен нулю): $120z = (2z + 12)(2z + 18)$

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые: $120z = 4z^2 + 36z + 24z + 216$ $120z = 4z^2 + 60z + 216$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4z^2 + 60z - 120z + 216 = 0$ $4z^2 - 60z + 216 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения: $z^2 - 15z + 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 54. Корнями являются числа 6 и 9. Таким образом, $z_1 = 6$ и $z_2 = 9$.

Поскольку оба корня являются положительными числами, они оба представляют собой возможные решения. Необходимо проверить каждый случай.

Если первоначальная масса цинка $z = 6$ кг, то масса меди $m = 6 + 12 = 18$ кг. Первоначальный процент цинка составляет $\frac{6}{6+18} \times 100\% = 25\%$. После добавления 6 кг меди общая масса становится $24+6=30$ кг, а новый процент цинка равен $\frac{6}{30} \times 100\% = 20\%$. Разница $25\% - 20\% = 5\%$, что соответствует условию.

Если первоначальная масса цинка $z = 9$ кг, то масса меди $m = 9 + 12 = 21$ кг. Первоначальный процент цинка составляет $\frac{9}{9+21} \times 100\% = 30\%$. После добавления 6 кг меди общая масса становится $30+6=36$ кг, а новый процент цинка равен $\frac{9}{36} \times 100\% = 25\%$. Разница $30\% - 25\% = 5\%$, что также соответствует условию.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Первоначально сплав содержал либо 6 кг цинка и 18 кг меди, либо 9 кг цинка и 21 кг меди.