Номер 538, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

538. На старом станке рабочий изготавливал одну деталь за 20 мин, а на новом — за 8 мин. На сколько процентов выросла производительность труда рабочего?

Для того чтобы найти, на сколько процентов выросла производительность труда, необходимо сначала вычислить производительность рабочего на старом и новом станках. Производительность — это количество продукции (деталей), произведенной за единицу времени.

1. Вычисление производительности труда.
Производительность можно выразить как количество деталей в минуту.

• На старом станке время изготовления одной детали составляло 20 минут. Следовательно, производительность на старом станке ($P_{старая}$) равна:
  $P_{старая} = \frac{1 \text{ деталь}}{20 \text{ мин}} = \frac{1}{20}$ деталей/мин.
• На новом станке время изготовления одной детали составляет 8 минут. Производительность на новом станке ($P_{новая}$) равна:
  $P_{новая} = \frac{1 \text{ деталь}}{8 \text{ мин}} = \frac{1}{8}$ деталей/мин.

2. Расчет процентного роста производительности.
Чтобы найти процентное изменение, нужно разницу между новой и старой производительностью разделить на старую производительность и умножить результат на 100%.
Формула процентного роста: $\text{Рост} = \frac{P_{новая} - P_{старая}}{P_{старая}} \times 100\%$
Подставим наши значения:
$\text{Рост} = \frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{20}}{\frac{1}{20}} \times 100\%$
Найдем разность в числителе, приведя дроби к общему знаменателю (40):
$\frac{1}{8} - \frac{1}{20} = \frac{5}{40} - \frac{2}{40} = \frac{3}{40}$
Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:
$\text{Рост} = \frac{\frac{3}{40}}{\frac{1}{20}} \times 100\% = \frac{3}{40} \times \frac{20}{1} \times 100\% = \frac{60}{40} \times 100\% = 1.5 \times 100\% = 150\%$

Альтернативный способ.
Можно сравнить количество деталей, сделанных за один и тот же промежуток времени. Найдем наименьшее общее кратное для 20 и 8 — это 40 минут.

• За 40 минут на старом станке рабочий изготовил бы: $40 \text{ мин} \div 20 \text{ мин/деталь} = 2$ детали.
• За 40 минут на новом станке он изготовит: $40 \text{ мин} \div 8 \text{ мин/деталь} = 5$ деталей.

Производительность выросла с 2 деталей до 5 деталей за один и тот же период. Прирост составил $5 - 2 = 3$ детали. Теперь найдем, на сколько процентов выросла производительность, приняв исходное количество (2 детали) за 100%.
$\frac{\text{Прирост}}{\text{Старое количество}} \times 100\% = \frac{3}{2} \times 100\% = 1.5 \times 100\% = 150\%$

Ответ: Производительность труда рабочего выросла на 150%.