Страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

680. В таблице приведено распределение сотрудников детского сада соответственно стажу работы.

Найдите моду и среднее значение выборки, постройте соответствующую гистограмму.

Найдите моду и среднее значение выборки

Мода выборки — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. В данной таблице это стаж работы, которому соответствует наибольшее количество сотрудников.
Количество сотрудников для каждого стажа: 2, 4, 4, 3, 2, 4, 5.
Наибольшее число сотрудников (наибольшая частота) — 5. Этому значению соответствует стаж работы 20 лет. Следовательно, мода данной выборки равна 20.

Для нахождения среднего значения выборки (среднего арифметического взвешенного) необходимо вычислить сумму произведений каждого значения стажа на соответствующее ему количество сотрудников, а затем разделить полученную сумму на общее количество сотрудников.
1. Найдем общее количество сотрудников в выборке ($N$): $N = 2 + 4 + 4 + 3 + 2 + 4 + 5 = 24$
2. Найдем сумму произведений стажа на количество сотрудников ($S$): $S = (3 \cdot 2) + (6 \cdot 4) + (10 \cdot 4) + (12 \cdot 3) + (15 \cdot 2) + (16 \cdot 4) + (20 \cdot 5)$ $S = 6 + 24 + 40 + 36 + 30 + 64 + 100 = 300$
3. Найдем среднее значение ($\bar{x}$): $\bar{x} = \frac{S}{N} = \frac{300}{24} = 12.5$ лет.

Ответ: Мода выборки — 20 лет, среднее значение — 12,5 лет.

постройте соответствующую гистограмму

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, которая наглядно представляет распределение данных. В нашем случае по горизонтальной оси (оси абсцисс) отложен стаж работы в годах, а по вертикальной оси (оси ординат) — количество сотрудников, соответствующее каждому значению стажа.

Ответ: Соответствующая гистограмма построена выше.

681. У 24 легковых автомобилей сделали замеры расхода горючего на 100 км пути и получили ряд данных: 8 л, 9 л, 7,5 л, 9 л, 10 л, 8,5 л, 9 л, 8 л, 7,5 л, 9 л, 10 л, 7,5 л, 9 л, 10 л, 7,5 л, 8,5 л, 8 л, 7,5 л, 8,5 л, 10 л, 8,5 л, 9 л, 8 л, 7,5 л.

1) Составьте частотную таблицу.

2) Найдите среднее значение и моду данной выборки.

3) Постройте соответствующую гистограмму.

Для решения задачи проанализируем предоставленный ряд данных о расходе горючего 24 легковых автомобилей (в литрах на 100 км):

8, 9, 7,5, 9, 10, 8,5, 9, 8, 7,5, 9, 10, 7,5, 9, 10, 7,5, 8,5, 8, 7,5, 8,5, 10, 8,5, 9, 8, 7,5.

Всего в выборке 24 значения.

Частотная таблица показывает, сколько раз каждое уникальное значение встречается в выборке. Для этого сначала найдем все уникальные значения расхода горючего в данном ряду, а затем посчитаем их частоту (количество повторений).

• Значение 7,5 л встречается 6 раз.
• Значение 8 л встречается 4 раза.
• Значение 8,5 л встречается 4 раза.
• Значение 9 л встречается 6 раз.
• Значение 10 л встречается 4 раза.

Чтобы убедиться в правильности подсчетов, сложим все частоты: $6 + 4 + 4 + 6 + 4 = 24$. Сумма равна общему количеству автомобилей, значит, все значения учтены.

Теперь представим эти данные в виде таблицы:

Ответ: Частотная таблица для данного ряда данных представлена выше.

Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки вычисляется как сумма всех её значений, делённая на их количество. Для удобства воспользуемся частотной таблицей:

$\text{Среднее} = \frac{\text{Сумма всех значений}}{\text{Количество значений}}$

Сумма всех значений = $(7,5 \cdot 6) + (8 \cdot 4) + (8,5 \cdot 4) + (9 \cdot 6) + (10 \cdot 4) = 45 + 32 + 34 + 54 + 40 = 205$.

Количество значений = 24.

Среднее значение = $\frac{205}{24} \approx 8,5417$ л.

Мода — это значение в выборке, которое встречается наиболее часто. Обратившись к частотной таблице, мы видим, что максимальная частота равна 6. Эта частота соответствует двум значениям: 7,5 и 9.

Следовательно, данная выборка является бимодальной (имеет две моды).

Ответ: Среднее значение: $\frac{205}{24}$ л (приблизительно 8,54 л). Мода: 7,5 л и 9 л.

Гистограмма (в данном случае, для дискретных данных, это столбиковая диаграмма) является графическим представлением частотного распределения. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются значения расхода горючего, а по вертикальной оси (оси ординат) — их частота. Высота каждого столбика соответствует частоте появления данного значения в выборке.

Ответ: Соответствующая гистограмма (столбиковая диаграмма) построена выше.

682. Во время тестирования по алгебре 25 учеников 9 класса сделали следующее количество ошибок: 4, 3, 3, 1, 3, 4, 4, 5, 3, 0, 1, 4, 4, 4, 5, 3, 5, 4, 0, 4, 1, 4, 2, 2, 3.

1) Составьте частотную таблицу.

2) Найдите среднее значение и моду данной выборки.

3) Постройте соответствующую гистограмму.

Исходные данные представляют собой ряд чисел, где каждое число — это количество ошибок, допущенных одним из 25 учеников: 4, 3, 3, 1, 3, 4, 4, 5, 3, 0, 1, 4, 4, 4, 5, 3, 5, 4, 0, 4, 1, 4, 2, 2, 3.

1) Составьте частотную таблицу.

Для составления частотной таблицы необходимо определить уникальные значения в выборке (количество ошибок) и подсчитать, сколько раз каждое значение встречается (частота).

• Количество ошибок «0» встречается 2 раза.
• Количество ошибок «1» встречается 3 раза.
• Количество ошибок «2» встречается 2 раза.
• Количество ошибок «3» встречается 6 раз.
• Количество ошибок «4» встречается 9 раз.
• Количество ошибок «5» встречается 3 раза.

Проверим общее количество: $2 + 3 + 2 + 6 + 9 + 3 = 25$ учеников. Все верно.

Ответ:

2) Найдите среднее значение и моду данной выборки.

Мода выборки — это значение, которое встречается в выборке чаще всего. Из частотной таблицы видно, что наибольшая частота (9) соответствует значению «4».

Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Формула среднего значения: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$.
Для удобства воспользуемся частотной таблицей для вычисления суммы всех ошибок:
Сумма = $(0 \cdot 2) + (1 \cdot 3) + (2 \cdot 2) + (3 \cdot 6) + (4 \cdot 9) + (5 \cdot 3) = 0 + 3 + 4 + 18 + 36 + 15 = 76$.
Количество учеников (объем выборки) $n = 25$.
Среднее значение = $\frac{76}{25} = 3.04$.

Ответ: Мода выборки равна 4, среднее значение равно 3.04.

3) Постройте соответствующую гистограмму.

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, которая показывает распределение частот. По горизонтальной оси откладывается количество ошибок, а по вертикальной — частота (количество учеников, допустивших данное число ошибок). Высота каждого столбца соответствует частоте.

Ответ:

683. Выпишите все ваши оценки по алгебре, полученные в течение первого полугодия. Найдите среднее значение, моду и медиану полученного ряда данных.

Поскольку задача предполагает использование личных данных (оценок), а я являюсь искусственным интеллектом и не учусь в школе, для демонстрации решения воспользуемся гипотетическим набором оценок по алгебре за первое полугодие.

Предположим, что за первое полугодие были получены следующие 13 оценок:

4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 4.

Теперь на основе этого ряда данных найдём его среднее значение, моду и медиану.

Среднее значение

Среднее значение (или среднее арифметическое) — это сумма всех чисел в наборе данных, делённая на их количество.

1. Сначала вычислим сумму всех оценок в ряду:

$4 + 5 + 4 + 3 + 5 + 4 + 4 + 5 + 3 + 4 + 5 + 2 + 4 = 52$

2. Теперь разделим полученную сумму на общее количество оценок (которое равно 13):

$\text{Среднее значение} = \frac{52}{13} = 4$

Ответ: среднее значение ряда оценок равно 4.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных наиболее часто.

1. Проанализируем частоту появления каждой оценки в нашем ряду:

• оценка «2» встречается 1 раз;
• оценка «3» встречается 2 раза;
• оценка «4» встречается 6 раз;
• оценка «5» встречается 4 раза.

2. Чаще всего в ряду встречается оценка «4» (6 раз). Следовательно, она и является модой.

Ответ: мода ряда оценок равна 4.

Медиана

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам. То есть, это число, которое находится ровно посередине ряда, отсортированного по возрастанию.

1. Сначала необходимо упорядочить наш ряд оценок от меньшей к большей:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5

2. Наш ряд состоит из 13 элементов, что является нечётным числом. В таком случае медиана — это элемент, который стоит точно посередине. Его порядковый номер можно найти по формуле $ \frac{n + 1}{2} $, где $ n $ — количество элементов в ряду.

$\text{Номер медианного элемента} = \frac{13 + 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$

3. Найдём 7-й элемент в нашем упорядоченном ряду:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5

Седьмым элементом в ряду является число 4.

Ответ: медиана ряда оценок равна 4.

684. Директор фирмы получает 120 000 р. в месяц, два его заместителя по 80 000 р., а остальные 17 работников фирмы – по 20 000 р. в месяц. Найдите среднее значение, моду, медиану заработной платы в этой фирме.

Среднее значение

Для нахождения среднего значения заработной платы сначала определим общее число сотрудников и общий фонд заработной платы.

1. Общее число сотрудников: $1\ (директор) + 2\ (заместителя) + 17\ (работников) = 20$ человек.

2. Общий фонд заработной платы в месяц: $(1 \times 120\ 000) + (2 \times 80\ 000) + (17 \times 20\ 000) = 120\ 000 + 160\ 000 + 340\ 000 = 620\ 000$ рублей.

3. Среднее значение – это отношение общего фонда зарплаты к числу сотрудников: $\frac{620\ 000}{20} = 31\ 000$ рублей.

Ответ: 31 000 рублей.

Моду

Мода ряда данных – это значение, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Проанализируем частоту каждой зарплаты:

Зарплата 120 000 р. встречается 1 раз.
Зарплата 80 000 р. встречается 2 раза.
Зарплата 20 000 р. встречается 17 раз.

Наиболее часто встречается зарплата 20 000 рублей.

Ответ: 20 000 рублей.

Медиану

Медиана – это значение, которое делит упорядоченный ряд данных на две равные части. Всего в фирме 20 сотрудников. Расположим их зарплаты в порядке возрастания. Получим ряд, в котором первые 17 значений равны 20 000, затем два значения по 80 000, и последнее – 120 000.

Так как число сотрудников (20) четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений. Этими значениями являются зарплаты 10-го и 11-го сотрудников в упорядоченном списке. Позиции определяются по формулам $N/2$ и $N/2 + 1$, где $N=20$.

Поскольку первые 17 сотрудников в списке получают по 20 000 рублей, зарплаты и 10-го, и 11-го сотрудника равны 20 000 рублей. Найдем их среднее арифметическое: $\frac{20\ 000 + 20\ 000}{2} = 20\ 000$ рублей.

Ответ: 20 000 рублей.

685. Прочтите отрывок из стихотворения А.С. Пушкина.

Унылая пора! Очей очарованье!

Приятна мне твоя прощальная краса —

Люблю я пышное природы увяданье,

В багрец и в золото одетые леса,

В их сенях ветра шум и свежее дыханье,

И мглой волнистою покрыты небеса,

И редкий солнца луч, и первые морозы,

И отдалённые седой зимы угрозы.

Составьте частотную таблицу наличия букв «а», «е», «и», «б», «н», «о», «р», «у», «ф», «я» в данном стихотворении. Определите моду полученных данных.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала составить частотную таблицу для указанных букв на основе данного отрывка из стихотворения А.С. Пушкина, а затем найти моду полученного набора данных.

Составьте частотную таблицу наличия букв «а», «е», «и», «б», «н», «о», «р», «у», «ф», «я» в данном стихотворении.

Для начала подсчитаем количество каждой из указанных букв в тексте:

Унылая пора! Очей очарованье!
Приятна мне твоя прощальная краса —
Люблю я пышное природы увяданье,
В багрец и в золото одетые леса,
В их сенях ветра шум и свежее дыханье,
И мглой волнистою покрыты небеса,
И редкий солнца луч, и первые морозы,
И отдалённые седой зимы угрозы.

Результаты подсчета:

• Буква «а» встречается 17 раз.
• Буква «е» встречается 21 раз.
• Буква «и» встречается 12 раз.
• Буква «б» встречается 3 раза.
• Буква «н» встречается 14 раз.
• Буква «о» встречается 22 раза.
• Буква «р» встречается 14 раз.
• Буква «у» встречается 6 раз.
• Буква «ф» встречается 0 раз.
• Буква «я» встречается 7 раз.

Теперь представим эти данные в виде частотной таблицы:

Ответ: Частотная таблица наличия букв представлена выше.

Определите моду полученных данных.

Мода статистического ряда данных — это значение, которое встречается в этом ряду наиболее часто. В нашем случае, мы ищем букву, которая имеет наибольшую частоту появления в тексте.

Анализируя частотную таблицу, мы сравниваем количество появлений каждой буквы:

$17, 21, 12, 3, 14, 22, 14, 6, 0, 7$

Наибольшая частота — 22. Это значение соответствует букве «о».

Ответ: Модой полученных данных является буква «о», так как её частота (22) является наибольшей.