Страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В магазине продаются 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

А) 10

Б) 6

В) 24

Г) 4

Данная задача решается с помощью правила умножения в комбинаторике. Нам нужно совершить два независимых действия: выбрать чашку и выбрать блюдце.

Первое действие — выбор чашки. По условию, в магазине есть 6 разных чашек. Следовательно, существует 6 способов выбрать одну чашку.

Второе действие — выбор блюдца. В магазине есть 4 разных блюдца. Следовательно, существует 4 способа выбрать одно блюдце.

Чтобы найти общее количество способов купить набор "чашка с блюдцем", нужно перемножить количество способов для каждого действия. Если для любого из 6 выборов чашки существует 4 варианта выбора блюдца, то общее количество комбинаций будет равно их произведению.

Пусть $N$ — искомое количество способов. Тогда:
$N = (\text{количество вариантов чашек}) \times (\text{количество вариантов блюдец})$
$N = 6 \times 4 = 24$

Таким образом, существует 24 способа купить чашку с блюдцем. Этот результат соответствует варианту В).

Ответ: В) 24

2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 7, 9 так, чтобы в каждом числе все цифры были различными?

А) 6 Б) 3 В) 27 Г) 8

Чтобы найти, сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 7, 9 так, чтобы все цифры в числе были различны, мы можем использовать метод комбинаторных вычислений, а именно правило произведения.

Нам нужно сформировать трёхзначное число, которое имеет три разряда: сотни, десятки и единицы.

• Выбор цифры для разряда сотен: На первую позицию (сотни) мы можем поставить любую из трёх предложенных цифр: 3, 7 или 9. Таким образом, у нас есть 3 варианта.
• Выбор цифры для разряда десятков: После того как мы выбрали цифру для разряда сотен, у нас остаётся две цифры, так как по условию все цифры в числе должны быть разными. Значит, для второй позиции (десятки) у нас есть 2 оставшихся варианта.
• Выбор цифры для разряда единиц: После выбора цифр для сотен и десятков, у нас остаётся только одна неиспользованная цифра. Следовательно, для третьей позиции (единицы) у нас остаётся только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждого разряда:

Количество чисел = $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Эта задача также является задачей на нахождение числа перестановок из трёх элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=3$, поэтому количество чисел равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Можно также перечислить все возможные числа: 379, 397, 739, 793, 937, 973. Всего их 6.

Ответ: 6

3. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

А) 5

Б) 20

В) 100

Г) 120

Эта задача сводится к нахождению количества перестановок из 5 различных элементов. Перестановка — это расположение объектов в определенном порядке. В данном случае объектами являются 5 различных книг.

Представим себе 5 пустых мест на полке.
На первое место мы можем поставить любую из 5 книг. У нас есть 5 вариантов.
После того как первая книга заняла свое место, на второе место мы можем поставить любую из оставшихся 4 книг. У нас есть 4 варианта.
На третье место можно поставить одну из оставшихся 3 книг (3 варианта).
На четвертое место — одну из 2 оставшихся книг (2 варианта).
И на последнее, пятое, место остается только 1 книга (1 вариант).

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число вариантов для каждого места. Это является основным правилом комбинаторики (правило умножения).

Число способов равно произведению:
$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Такое произведение называется факториалом числа 5 и обозначается как $5!$.

Вычислим его значение:
$5! = 120$

Таким образом, существует 120 способов расставить 5 различных книг на полке. Этот результат соответствует варианту Г.

Ответ: 120

4. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей гербов и чисел можно при этом получить?

А) 6

Б) 3

В) 10

Г) 8

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики, известное как правило умножения. Мы имеем дело с тремя последовательными независимыми событиями — тремя бросками монеты.

При каждом отдельном броске монеты существует два возможных исхода: выпадение "герба" (обозначим Г) или "чисел" (обозначим Ч).

Рассмотрим каждый бросок как отдельный шаг:

• На первом шаге (первый бросок) есть 2 варианта исхода.
• На втором шаге (второй бросок) также есть 2 варианта исхода, независимо от результата первого.
• На третьем шаге (третий бросок) снова есть 2 варианта исхода, независимо от предыдущих.

Чтобы найти общее количество всех возможных уникальных последовательностей, нужно перемножить количество исходов для каждого шага:

Общее количество последовательностей = $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Для наглядности можно перечислить все возможные последовательности:

1. ГГГ
2. ГГЧ
3. ГЧГ
4. ГЧЧ
5. ЧГГ
6. ЧГЧ
7. ЧЧГ
8. ЧЧЧ

Подсчет показывает, что всего существует 8 различных последовательностей. Сравнивая это число с предложенными вариантами ответов (А) 6, Б) 3, В) 10, Г) 8), мы заключаем, что верный ответ — 8, что соответствует варианту Г.

Ответ: 8

5. Стоит терем-теремок из пяти этажей. Каждый этаж можно покрасить в красный или синий цвет (соседние этажи могут быть одного цвета). Сколько существует различных раскрасок этого теремка?

А) 5

Б) 32

В) 10

Г) 20

Для решения этой задачи нужно применить правило умножения из комбинаторики. Нам нужно определить общее количество способов раскрасить пятиэтажный теремок, используя два цвета (красный и синий).

В условии задачи сказано, что каждый из пяти этажей можно покрасить в красный или синий цвет, и цвет соседнего этажа не накладывает никаких ограничений. Это означает, что выбор цвета для каждого этажа является независимым событием.

Рассмотрим количество вариантов для каждого этажа:
- Для первого этажа есть 2 варианта выбора цвета (красный или синий).
- Для второго этажа также есть 2 независимых варианта.
- Для третьего этажа — 2 варианта.
- Для четвертого этажа — 2 варианта.
- Для пятого этажа — 2 варианта.

Чтобы найти общее количество различных раскрасок для всего теремка, нужно перемножить количество вариантов для каждого этажа.

Общее количество способов $N$ вычисляется по формуле:
$N = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5$

Вычислим значение:
$2^5 = 32$

Таким образом, существует 32 различных способа раскраски этого теремка.
Ответ: 32

6. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

А) 10

Б) 11

В) 110

Г) 100

В данной задаче требуется найти количество способов выбрать капитана и его заместителя из 11 человек. Поскольку должности "капитан" и "заместитель" различны, порядок выбора имеет значение. Если мы выберем игрока А капитаном, а игрока Б заместителем, это будет не то же самое, что выбрать игрока Б капитаном, а игрока А заместителем. Такие упорядоченные выборки в комбинаторике называются размещениями.

Способ 1: Применение правила произведения
Сначала выберем капитана. На эту роль может быть выбран любой из 11 футболистов. Таким образом, у нас есть 11 вариантов.
После того как капитан выбран, на роль его заместителя могут претендовать оставшиеся 10 человек. Значит, для каждого из 11 вариантов выбора капитана есть 10 вариантов выбора заместителя.
Общее количество способов найти можно, перемножив количество вариантов для каждого выбора:
$11 \times 10 = 110$

Способ 2: Использование формулы для числа размещений
Число размещений из $n$ элементов по $k$ (обозначается как $A_n^k$) — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ с учётом порядка. Формула для вычисления:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае, мы выбираем 2 человек ($k=2$) из 11 ($n=11$).
Подставляем значения в формулу:
$A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times \dots \times 1}{9 \times \dots \times 1} = 11 \times 10 = 110$

Оба способа показывают, что существует 110 способов для такого выбора. Сравнивая с вариантами ответа, правильным является вариант В.

Ответ: В) 110

7. Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны и нечётны?

А) 5

Б) 100

В) 120

Г) 110

Для решения этой задачи нужно использовать основы комбинаторики. Нам необходимо найти количество четырёхзначных чисел, составленных из различных нечётных цифр.

1. Определим доступные цифры.Нечётными являются цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Всего у нас есть 5 различных цифр для составления числа.

2. Определим количество вариантов для каждой позиции в числе.Число четырёхзначное, значит, в нём 4 позиции (разряда): тысячи, сотни, десятки и единицы. По условию, все цифры в числе должны быть различны.

• На первую позицию (тысячи) мы можем поставить любую из 5 нечётных цифр. Таким образом, у нас 5 вариантов.
• На вторую позицию (сотни) мы можем поставить любую из оставшихся 4 цифр, так как одна цифра уже использована. У нас 4 варианта.
• На третью позицию (десятки) мы можем выбрать одну из оставшихся 3 цифр. У нас 3 варианта.
• На четвертую позицию (единицы) остаётся 2 неиспользованные цифры. У нас 2 варианта.

3. Вычислим общее количество комбинаций.Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество возможных вариантов для каждой позиции (согласно правилу произведения):

$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в выборке. Формула имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=5$ (количество нечётных цифр), а $k=4$ (так как число четырёхзначное).

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, существует 120 четырёхзначных чисел, все цифры которых различны и нечётны.

Ответ: В) 120

8. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых различны и чётны?

А) 96 Б) 48 В) 100 Г) 120

Для решения этой задачи нам нужно найти количество четырехзначных чисел, которые можно составить из чётных цифр так, чтобы все цифры в числе были различны.

Множество всех чётных цифр состоит из 5 элементов: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Четырехзначное число состоит из четырех позиций (цифр). Рассмотрим, сколько вариантов выбора есть для каждой позиции.

Первая цифра (разряд тысяч)
На этой позиции может быть любая чётная цифра, кроме нуля, так как число не может начинаться с нуля. Таким образом, для первой цифры у нас есть выбор из множества $\{2, 4, 6, 8\}$.
Количество вариантов: 4.

Вторая цифра (разряд сотен)
На этой позиции может быть любая из оставшихся чётных цифр. Одна цифра уже использована для первого разряда. Изначально было 5 чётных цифр, значит, осталось $5 - 1 = 4$ цифры. На этой позиции ноль уже может быть использован.
Количество вариантов: 4.

Третья цифра (разряд десятков)
Две различные цифры уже использованы для первых двух разрядов. Следовательно, из 5 исходных чётных цифр осталось $5 - 2 = 3$ цифры для выбора.
Количество вариантов: 3.

Четвертая цифра (разряд единиц)
Три различные цифры уже заняты. Остается $5 - 3 = 2$ цифры для выбора на последнюю позицию.
Количество вариантов: 2.

Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения:
$N = 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$

Таким образом, существует 96 четырехзначных чисел, у которых все цифры различны и являются чётными. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 96

9. В магазине продаются 6 разных ложек, 4 разные вилки и 3 разных ножа. Сколькими способами можно купить два предмета с разными наименованиями?

A) 24

Б) 54

В) 72

Г) 13

Для того чтобы найти общее количество способов купить два предмета с разными наименованиями, необходимо рассмотреть все возможные комбинации таких покупок и сложить их. В магазине есть три типа предметов: ложки (6 видов), вилки (4 вида) и ножи (3 вида).

Возможны следующие три взаимоисключающих варианта покупки двух предметов с разными наименованиями:

1. Купить ложку и вилку.
2. Купить ложку и нож.
3. Купить вилку и нож.

Для нахождения количества способов в каждом варианте используется правило умножения, а для нахождения общего количества способов — правило сложения.

1. Количество способов купить ложку и вилку
Число способов выбрать одну из 6 разных ложек равно 6.
Число способов выбрать одну из 4 разных вилок равно 4.
Общее количество способов для этой пары:
$N_1 = 6 \times 4 = 24$

2. Количество способов купить ложку и нож
Число способов выбрать одну из 6 разных ложек равно 6.
Число способов выбрать один из 3 разных ножей равно 3.
Общее количество способов для этой пары:
$N_2 = 6 \times 3 = 18$

3. Количество способов купить вилку и нож
Число способов выбрать одну из 4 разных вилок равно 4.
Число способов выбрать один из 3 разных ножей равно 3.
Общее количество способов для этой пары:
$N_3 = 4 \times 3 = 12$

Общее количество способов
Чтобы найти общее количество способов, нужно сложить количество способов для всех трех рассмотренных вариантов:
$N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 = 24 + 18 + 12 = 54$

Таким образом, существует 54 способа купить два предмета с разными наименованиями.

Ответ: 54.

10. После того как смешали 50-процентный и 20-процентный растворы кислоты, получили 600 г 25-процентного раствора. Сколько было граммов 50-процентного раствора?

А) 500 г

Б) 300 г

В) 250 г

Г) 100 г

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это масса 50-процентного раствора кислоты в граммах.

Пусть $y$ — это масса 20-процентного раствора кислоты в граммах.

Согласно условию, общая масса смеси составляет 600 г. Это позволяет составить первое уравнение, основанное на сохранении общей массы:

$x + y = 600$

Теперь составим второе уравнение, основанное на массе чистой кислоты. Масса кислоты в каждом растворе равна произведению массы раствора на его процентную концентрацию, выраженную в долях.

• Масса кислоты в первом растворе: $0.50 \cdot x$
• Масса кислоты во втором растворе: $0.20 \cdot y$
• Масса кислоты в конечном растворе: $0.25 \cdot 600 = 150$ г

Сумма масс кислоты в исходных растворах равна массе кислоты в конечном растворе:

$0.5x + 0.2y = 150$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y = 600 \\ 0.5x + 0.2y = 150 \end{cases}$

Для решения этой системы выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 600 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$0.5x + 0.2(600 - x) = 150$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$0.5x + 120 - 0.2x = 150$

Приведем подобные слагаемые:

$(0.5 - 0.2)x = 150 - 120$

$0.3x = 30$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{30}{0.3} = 100$

Таким образом, для приготовления смеси было взято 100 граммов 50-процентного раствора кислоты.

Ответ: 100 г

11. Из натуральных чисел от 1 до 18 включительно ученик наугад называет одно. Какова вероятность того, что это число является делителем числа 12?

А) $\frac{1}{4}$

Б) $\frac{1}{3}$

В) $\frac{1}{6}$

Г) $\frac{1}{18}$

Для решения этой задачи по теории вероятностей необходимо определить общее количество возможных исходов и количество исходов, благоприятствующих событию.

1. Определение общего числа исходов.
Ученик выбирает одно натуральное число из диапазона от 1 до 18 включительно. Таким образом, общее число всех равновозможных исходов $N$ равно 18.

$N = 18$

2. Определение числа благоприятных исходов.
Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что выбранное число является делителем числа 12. Найдем все натуральные делители числа 12.

Делителями числа 12 являются: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Все эти числа входят в заданный диапазон от 1 до 18. Следовательно, количество благоприятных исходов $m$ равно 6.

$m = 6$

3. Вычисление вероятности.
Вероятность $P$ события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N}$

Подставим найденные значения в формулу:

$P = \frac{6}{18}$

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{1}{3}$

Таким образом, вероятность того, что наугад названное число является делителем числа 12, равна $\frac{1}{3}$. Этот результат соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{1}{3}$