Номер 7, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны и нечётны?

А) 5

Б) 100

В) 120

Г) 110

Для решения этой задачи нужно использовать основы комбинаторики. Нам необходимо найти количество четырёхзначных чисел, составленных из различных нечётных цифр.

1. Определим доступные цифры.Нечётными являются цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Всего у нас есть 5 различных цифр для составления числа.

2. Определим количество вариантов для каждой позиции в числе.Число четырёхзначное, значит, в нём 4 позиции (разряда): тысячи, сотни, десятки и единицы. По условию, все цифры в числе должны быть различны.

• На первую позицию (тысячи) мы можем поставить любую из 5 нечётных цифр. Таким образом, у нас 5 вариантов.
• На вторую позицию (сотни) мы можем поставить любую из оставшихся 4 цифр, так как одна цифра уже использована. У нас 4 варианта.
• На третью позицию (десятки) мы можем выбрать одну из оставшихся 3 цифр. У нас 3 варианта.
• На четвертую позицию (единицы) остаётся 2 неиспользованные цифры. У нас 2 варианта.

3. Вычислим общее количество комбинаций.Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество возможных вариантов для каждой позиции (согласно правилу произведения):

$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в выборке. Формула имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n=5$ (количество нечётных цифр), а $k=4$ (так как число четырёхзначное).

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Таким образом, существует 120 четырёхзначных чисел, все цифры которых различны и нечётны.

Ответ: В) 120