Номер 8, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых различны и чётны?

А) 96 Б) 48 В) 100 Г) 120

Для решения этой задачи нам нужно найти количество четырехзначных чисел, которые можно составить из чётных цифр так, чтобы все цифры в числе были различны.

Множество всех чётных цифр состоит из 5 элементов: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Четырехзначное число состоит из четырех позиций (цифр). Рассмотрим, сколько вариантов выбора есть для каждой позиции.

Первая цифра (разряд тысяч)
На этой позиции может быть любая чётная цифра, кроме нуля, так как число не может начинаться с нуля. Таким образом, для первой цифры у нас есть выбор из множества $\{2, 4, 6, 8\}$.
Количество вариантов: 4.

Вторая цифра (разряд сотен)
На этой позиции может быть любая из оставшихся чётных цифр. Одна цифра уже использована для первого разряда. Изначально было 5 чётных цифр, значит, осталось $5 - 1 = 4$ цифры. На этой позиции ноль уже может быть использован.
Количество вариантов: 4.

Третья цифра (разряд десятков)
Две различные цифры уже использованы для первых двух разрядов. Следовательно, из 5 исходных чётных цифр осталось $5 - 2 = 3$ цифры для выбора.
Количество вариантов: 3.

Четвертая цифра (разряд единиц)
Три различные цифры уже заняты. Остается $5 - 3 = 2$ цифры для выбора на последнюю позицию.
Количество вариантов: 2.

Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции, используя комбинаторное правило произведения:
$N = 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$

Таким образом, существует 96 четырехзначных чисел, у которых все цифры различны и являются чётными. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 96