Номер 13, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Из двузначных чётных чисел наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что это число будет кратным числу 7?

А) $ \frac{1}{9} $ Б) $ \frac{7}{45} $ В) $ \frac{1}{14} $ Г) $ \frac{2}{15} $

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов: $P = \frac{m}{N}$.

Нахождение общего числа исходов (N)

Общее число исходов ($N$) — это количество всех двузначных чётных чисел. Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Чётные числа в этом диапазоне образуют арифметическую прогрессию: 10, 12, 14, ..., 98. Чтобы найти их количество, можно использовать формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $d$ — разность прогрессии. В нашем случае: $a_1 = 10$, $a_n = 98$, $d = 2$. Подставим значения в формулу: $98 = 10 + (N-1) \cdot 2$ $98 - 10 = (N-1) \cdot 2$ $88 = (N-1) \cdot 2$ $N-1 = \frac{88}{2}$ $N-1 = 44$ $N = 45$ Таким образом, общее число двузначных чётных чисел равно 45.

Нахождение числа благоприятных исходов (m)

Благоприятный исход ($m$) — это выбор числа, которое является двузначным, чётным и кратным 7. Если число одновременно кратно 2 (т.е. чётное) и 7, то оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному (НОК). Поскольку 2 и 7 — взаимно простые числа, их НОК равен их произведению: НОК(2, 7) = $2 \times 7 = 14$. Следовательно, нам нужно найти количество двузначных чисел, кратных 14. Перечислим их:

• $14 \cdot 1 = 14$
• $14 \cdot 2 = 28$
• $14 \cdot 3 = 42$
• $14 \cdot 4 = 56$
• $14 \cdot 5 = 70$
• $14 \cdot 6 = 84$
• $14 \cdot 7 = 98$

Следующее число, кратное 14 ($14 \cdot 8 = 112$), уже является трёхзначным, поэтому не подходит. Всего таких чисел 7. Значит, количество благоприятных исходов $m = 7$.

Вычисление вероятности

Теперь, зная общее число исходов ($N = 45$) и число благоприятных исходов ($m = 7$), мы можем вычислить искомую вероятность: $P = \frac{m}{N} = \frac{7}{45}$.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту Б).

Ответ: Б) $\frac{7}{45}$