Номер 6, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

А) 10

Б) 11

В) 110

Г) 100

В данной задаче требуется найти количество способов выбрать капитана и его заместителя из 11 человек. Поскольку должности "капитан" и "заместитель" различны, порядок выбора имеет значение. Если мы выберем игрока А капитаном, а игрока Б заместителем, это будет не то же самое, что выбрать игрока Б капитаном, а игрока А заместителем. Такие упорядоченные выборки в комбинаторике называются размещениями.

Способ 1: Применение правила произведения
Сначала выберем капитана. На эту роль может быть выбран любой из 11 футболистов. Таким образом, у нас есть 11 вариантов.
После того как капитан выбран, на роль его заместителя могут претендовать оставшиеся 10 человек. Значит, для каждого из 11 вариантов выбора капитана есть 10 вариантов выбора заместителя.
Общее количество способов найти можно, перемножив количество вариантов для каждого выбора:
$11 \times 10 = 110$

Способ 2: Использование формулы для числа размещений
Число размещений из $n$ элементов по $k$ (обозначается как $A_n^k$) — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ с учётом порядка. Формула для вычисления:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае, мы выбираем 2 человек ($k=2$) из 11 ($n=11$).
Подставляем значения в формулу:
$A_{11}^2 = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times \dots \times 1}{9 \times \dots \times 1} = 11 \times 10 = 110$

Оба способа показывают, что существует 110 способов для такого выбора. Сравнивая с вариантами ответа, правильным является вариант В.

Ответ: В) 110