Страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что образуют объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами?

1. Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами, образуют последовательность.

Разберем это понятие подробнее. Последовательность — это набор элементов (объектов), в котором каждому элементу сопоставлено уникальное натуральное число $n$ (т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$). Это число называется индексом или номером элемента, и оно определяет его точное положение в ряду. Иными словами, это занумерованный и упорядоченный список объектов.

Ключевые характеристики последовательности:

Упорядоченность: Элементы расположены в строгом порядке. Существует первый элемент (с номером 1), второй элемент (с номером 2) и так далее. Изменение порядка элементов приводит к созданию новой, другой последовательности.

Индексация: Каждый элемент имеет свой уникальный номер. Элемент с номером $n$ принято обозначать $a_n$ (или $x_n$, $y_n$ и т.д.). Всю последовательность можно записать как $(a_n)$, $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ или просто перечислить её члены: $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$.

Примеры:

– Числовая последовательность: Последовательность нечетных чисел: $1, 3, 5, 7, \ldots$. Здесь член с номером $n$ задается формулой $a_n = 2n-1$. Например, четвертый член последовательности $a_4 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.

– Последовательность Фибоначчи: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$. Здесь каждый следующий член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.

– Последовательность нечисловых объектов: Последовательность планет Солнечной системы в порядке их удаления от Солнца: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. Здесь первому элементу ($a_1$) соответствует Меркурий, второму ($a_2$) — Венера, и так далее.

Таким образом, нумерация натуральными числами вводит строгий порядок и позволяет однозначно определить место каждого объекта в ряду, что и является определением последовательности.

Ответ: последовательность.

2. Как называют объекты, образующие последовательность?

Объекты, которые образуют последовательность, называются её членами. Каждый член последовательности — это отдельный объект в этом упорядоченном наборе, и у каждого есть свой уникальный порядковый номер (индекс), который определяет его позицию.

Например, рассмотрим последовательность чётных положительных чисел: $2, 4, 6, 8, 10, \dots$. В этой последовательности:
• число $2$ — это первый член;
• число $4$ — это второй член;
• число $6$ — это третий член, и так далее.

В математике члены последовательности принято обозначать буквой с индексом, указывающим на номер члена. Например, $a_n$ — это обозначение для $n$-го члена последовательности (его ещё называют общим членом). Для последовательности $2, 4, 6, 8, \dots$ формула общего члена будет $a_n = 2n$, где $n$ — натуральное число ($n=1, 2, 3, \dots$).

Ответ: члены последовательности.

3. Как называют член последовательности, имеющий номер $n$?

Член последовательности, имеющий номер $n$, называется $n$-ым членом последовательности.

В математике последовательностью называют занумерованный ряд элементов. Каждый элемент имеет свой порядковый номер (индекс) — $1, 2, 3, \dots, n, \dots$. Элемент, который соответствует номеру $n$, обозначается как $a_n$ (или другой буквой с индексом $n$).

Также $n$-ый член часто называют общим членом последовательности. Это название подчеркивает, что по формуле для $n$-го члена можно найти любой другой член последовательности, подставив в нее соответствующий номер. Например, если общий член последовательности задан формулой $a_n = n^2 + 1$, то пятый член будет равен $a_5 = 5^2 + 1 = 26$.

Оба термина, "$n$-ый член" и "общий член", широко используются и являются синонимами в данном контексте.

Ответ: $n$-ый член последовательности (или общий член последовательности).

4. Какую последовательность называют числовой?

Числовой последовательностью называют функцию, область определения которой есть множество натуральных чисел $\mathbb{N}$. Это означает, что каждому натуральному числу $n=1, 2, 3, \dots$ ставится в соответствие некоторое действительное число $a_n$. Иными словами, это занумерованный ряд чисел, где у каждого числа есть свой порядковый номер.

Числа, образующие последовательность, называются её членами или элементами. Число $n$ называется номером или индексом члена $a_n$. Саму последовательность принято обозначать как $(a_n)$, $\{a_n\}$ или перечислением её членов: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$.Например, $a_1$ — это первый член, $a_2$ — второй, а $a_n$ — это n-й (или общий) член последовательности. Последовательности могут быть конечными (если множество номеров конечно) и бесконечными (если множество номеров — все натуральные числа).

Существует несколько основных способов задания числовой последовательности:

1. Аналитический способ. Последовательность задаётся с помощью формулы n-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.
Пример: Последовательность, заданная формулой $a_n = n^2 + 1$. По ней можно найти любой член: $a_1 = 1^2 + 1 = 2$, $a_2 = 2^2 + 1 = 5$, $a_{10} = 10^2 + 1 = 101$.

2. Рекуррентный способ. Указывается один или несколько первых членов и формула (рекуррентное соотношение), позволяющая найти любой член последовательности, зная предыдущие.
Пример: Арифметическая прогрессия, где $a_1 = 5$ и $a_{n+1} = a_n + 3$. Тогда $a_2 = a_1 + 3 = 5 + 3 = 8$, $a_3 = a_2 + 3 = 8 + 3 = 11$, и так далее.

3. Словесный способ. Правило задания последовательности описывается словами.
Пример: Последовательность простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые члены этой последовательности: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Ответ: Числовой последовательностью называют упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу (номеру) $n$ поставлено в соответствие некоторое число $a_n$ (член последовательности). С математической точки зрения, это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

5. В каком случае последовательность считают заданной?

Последовательность считается заданной, если указан способ или правило, которое позволяет однозначно определить любой её член по его номеру. То есть, для любого натурального числа $n$ можно найти соответствующий ему член последовательности $a_n$. Существует несколько основных способов задания последовательностей.

Аналитический способ

Этот способ заключается в том, что последовательность задается формулой её n-го члена, то есть как функция от номера члена $n$. Формула вида $a_n = f(n)$ позволяет вычислить любой член последовательности, просто подставив в нее его порядковый номер.

Пример: Последовательность квадратов натуральных чисел задается формулой $a_n = n^2$.

С помощью этой формулы можно найти любой член последовательности:

• для $n=1$, $a_1 = 1^2 = 1$
• для $n=2$, $a_2 = 2^2 = 4$
• для $n=5$, $a_5 = 5^2 = 25$

Преимущество этого способа в том, что он позволяет найти любой член последовательности напрямую, не вычисляя предыдущие.

Ответ: Последовательность считается заданной, если указана формула её $n$-го члена, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру.

Рекуррентный способ

При рекуррентном (от лат. recurrere — возвращаться) способе задается правило, позволяющее вычислить $n$-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Обязательным условием является задание одного или нескольких начальных членов последовательности, от которых можно начать вычисления.

Пример: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 4$. Её можно задать рекуррентно: $a_1 = 3$ и $a_{n+1} = a_n + 4$ для $n \ge 1$.

Вычислим несколько первых членов:

• $a_1 = 3$ (задано)
• $a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$
• $a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$

Другой известный пример — последовательность Фибоначчи: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ при $n \ge 3$.

Ответ: Последовательность считается заданной, если указаны её первые один или несколько членов и рекуррентная формула, выражающая последующий член через предыдущие.

Словесный способ

Этот способ состоит в том, что правило, по которому составляются члены последовательности, описывается словами. Такое описание должно быть однозначным и не допускать различных толкований, чтобы для любого номера можно было точно определить соответствующий член.

Пример 1: Последовательность простых чисел, расположенных в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, ... Правило понятно, хотя и не существует простой аналитической формулы для нахождения $n$-го простого числа.

Пример 2: Последовательность десятичных приближений числа $\pi$ с недостатком с точностью до $n$-го знака после запятой: 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...

Ответ: Последовательность считается заданной, если дано её словесное описание, которое однозначно определяет правило нахождения любого её члена.

6. Какие способы задания последовательности вы знаете?

Существует несколько основных способов задания числовых последовательностей:

1. Аналитический способ

Последовательность задается с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его порядковому номеру n. Такая формула имеет вид $a_n = f(n)$. Это один из самых удобных способов, так как он позволяет найти любой член последовательности напрямую.

Пример: Последовательность нечетных положительных чисел задается формулой $a_n = 2n - 1$.
$a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
Получается последовательность: 1, 3, 5, 7, ...

Ответ: Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы n-го члена $a_n = f(n)$.

2. Рекуррентный способ

Этот способ заключается в задании формулы, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены. При этом необходимо задать один или несколько начальных членов последовательности. Название происходит от латинского слова recurrere — возвращаться.

Пример 1: Арифметическая прогрессия. Задается первый член $a_1 = 4$ и рекуррентное соотношение $a_{n+1} = a_n + 3$ для всех $n \ge 1$.
$a_1 = 4$
$a_2 = a_1 + 3 = 4 + 3 = 7$
$a_3 = a_2 + 3 = 7 + 3 = 10$
Последовательность: 4, 7, 10, 13, ...

Пример 2: Последовательность Фибоначчи. Задаются два первых члена $F_1 = 1, F_2 = 1$ и рекуррентное соотношение $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ для $n \ge 1$.
$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$
Последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Ответ: Рекуррентный способ — это задание n-го члена последовательности через предыдущие члены с указанием начальных членов.

3. Словесный способ

Правило, по которому составляется последовательность, описывается словами. Этот способ используется, когда сложно или невозможно задать последовательность аналитически или рекуррентно.

Пример 1: Последовательность простых чисел в порядке возрастания.
Ее члены: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Пример 2: Последовательность десятичных знаков в записи числа $\pi = 3,1415926...$ после запятой.
Ее члены: 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, ...

Ответ: Словесный способ — это описание правила формирования последовательности с помощью слов.

4. Перечислением членов

Для конечных последовательностей можно просто перечислить все ее члены. Для бесконечных последовательностей этот способ применим, только если закономерность очевидна из нескольких первых членов, что может привести к неоднозначности.

Пример: Последовательность количества дней в месяцах невисокосного года: 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31.

Ответ: Способ перечисления членов — это прямое указание элементов последовательности, что особенно удобно для конечных последовательностей.

7. Поясните, что такое формула $n$-го члена последовательности.

Формула n-го члена последовательности — это выражение, которое устанавливает зависимость значения любого члена последовательности от его порядкового номера $n$. Другими словами, это правило, позволяющее найти любой член последовательности, зная только его номер.

Числовая последовательность представляет собой упорядоченный набор чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$, в котором каждому натуральному числу $n$ (индексу или номеру) ставится в соответствие число $a_n$ (член последовательности).

Формула n-го члена позволяет задать последовательность аналитически, то есть в виде функции от номера члена $n$. Основное преимущество такого способа задания последовательности заключается в том, что можно вычислить значение любого члена, не находя при этом все предыдущие.

Например, для арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11, ... где каждый следующий член на 3 больше предыдущего, общая формула n-го члена имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$. В нашем случае, первый член $a_1 = 2$ и разность $d = 3$, поэтому формула для этой конкретной последовательности будет $a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1$. С её помощью можно мгновенно найти любой член, например, сотый: $a_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 299$.

Другим примером является геометрическая прогрессия 3, 6, 12, 24, ..., где каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. Её n-ый член задаётся общей формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для данной последовательности с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = 2$ формула будет $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$. С её помощью можно найти, к примеру, восьмой член: $b_8 = 3 \cdot 2^{8-1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$.

Существуют и другие последовательности. Например, последовательность квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... задаётся очень простой формулой $a_n = n^2$.

Таким образом, формула n-го члена является мощным инструментом для описания и анализа последовательностей, предоставляя явный способ вычисления любого её элемента.

Ответ: Формула n-го члена последовательности — это аналитическое выражение (формула), которое показывает, как значение любого члена последовательности ($a_n$) зависит от его порядкового номера ($n$), и позволяет вычислить этот член напрямую.

8. Какова связь между понятиями «функция» и «последовательность»?

Связь между понятиями «функция» и «последовательность» очень тесная: последовательность является частным случаем функции. Чтобы понять эту связь, рассмотрим оба понятия по отдельности.

Функция

Функция — это правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества (называемого областью значений). Обычно функцию записывают в виде $y = f(x)$, где $x$ — это независимая переменная (аргумент), а $y$ — зависимая переменная (значение функции). Областью определения функции могут быть различные числовые множества, например, множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Последовательность

Числовая последовательность — это занумерованный ряд чисел, где каждому натуральному числу $n$ (номеру или индексу) поставлено в соответствие некоторое число $a_n$ (член последовательности). Например, последовательность четных чисел можно задать формулой $a_n = 2n$. Тогда первому номеру ($n=1$) соответствует член $a_1=2$, второму ($n=2$) — $a_2=4$, третьему ($n=3$) — $a_3=6$ и так далее.

Связь между понятиями

Из определений видно, что последовательность полностью подпадает под определение функции. Последовательность — это числовая функция, областью определения которой является множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Другими словами, для последовательности, заданной формулой $a_n$, мы можем записать функциональную зависимость $y = f(n)$, где:

• Аргументом функции является номер члена последовательности $n$, который может принимать только натуральные значения ($n \in \mathbb{N}$).
• Значением функции является сам член последовательности $a_n$.

Таким образом, запись $a_n$ — это просто традиционное обозначение для функции $f(n)$, у которой область определения — множество натуральных чисел. Основное отличие в том, что для обычной функции (например, $y=x^2$) аргумент $x$ может быть любым действительным числом, и ее график — сплошная линия (парабола). График же последовательности (например, $a_n=n^2$) представляет собой набор отдельных, изолированных точек, так как ее аргумент $n$ — только натуральные числа.

Ответ: Последовательность является частным случаем функции. Это числовая функция, областью определения которой служит множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, а областью значений — множество членов этой последовательности.

9. Поясните, что такое рекуррентная формула.

Рекуррентная формула (от латинского recurro — возвращаться) — это способ задания числовой последовательности, при котором каждый следующий член последовательности выражается через один или несколько предыдущих. Чтобы по такой формуле можно было однозначно вычислить все члены последовательности, необходимо также задать один или несколько её начальных членов (так называемые начальные условия или базовые случаи).

Таким образом, рекуррентное задание последовательности всегда состоит из двух частей:

• Рекуррентное соотношение — сама формула, которая связывает член последовательности с номером $n$ (обозначается $a_n$) с предыдущими членами (например, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$ и т.д.).
• Начальные условия — значения одного или нескольких первых членов последовательности (например, $a_1$, $a_2$), которые задаются явно и служат отправной точкой для вычислений.

Рассмотрим несколько известных примеров:

1. Арифметическая прогрессия

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением постоянного числа $d$ (разности прогрессии).

• Рекуррентное соотношение: $a_{n+1} = a_n + d$
• Начальное условие: задан первый член $a_1$.

Например, если $a_1 = 5$ и $d = 3$, то мы можем последовательно найти остальные члены: $a_2 = a_1 + 3 = 5 + 3 = 8$; $a_3 = a_2 + 3 = 8 + 3 = 11$; и так далее. Получится последовательность: 5, 8, 11, 14, ...

2. Последовательность Фибоначчи

Это классический пример, где член последовательности зависит от двух предыдущих. Каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

• Рекуррентное соотношение: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ для $n \ge 3$.
• Начальные условия: необходимо задать два первых члена, например, $F_1 = 1$ и $F_2 = 1$.

Вычисления: $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$; $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$; $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$. Получится последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Отличие от явной формулы

Рекуррентную формулу важно отличать от явной формулы (или формулы n-го члена), которая позволяет вычислить любой член последовательности напрямую по его номеру $n$, не зная предыдущих членов. Например, для арифметической прогрессии явная формула имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$. С её помощью можно сразу найти $a_{100}$, не вычисляя все 99 предыдущих членов. Рекуррентная же формула описывает пошаговый процесс нахождения членов последовательности.

Ответ:

Рекуррентная формула — это формула, выражающая очередной член числовой последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для полного определения последовательности рекуррентная формула должна сопровождаться начальными условиями (заданными значениями первых нескольких членов).

692. Запишите в порядке возрастания пять первых членов последовательности:

1) двузначных чисел, кратных числу 4;

2) неправильных обыкновенных дробей с числителем 11;

3) натуральных чисел, дающих при делении на 8 остаток 5.

Укажите, конечными или бесконечными являются эти последовательности.

1) двузначных чисел, кратных числу 4
Двузначными называются числа от 10 до 99. Нам нужно найти те из них, которые делятся на 4 без остатка. Чтобы найти первый член последовательности, будем проверять числа, начиная с 10. Число 10 не делится на 4 нацело, 11 тоже. Первое двузначное число, которое делится на 4, это 12 ($12 : 4 = 3$). Это и есть первый член нашей последовательности. Каждый следующий член будет на 4 больше предыдущего.
Первый член: 12
Второй член: $12 + 4 = 16$
Третий член: $16 + 4 = 20$
Четвертый член: $20 + 4 = 24$
Пятый член: $24 + 4 = 28$
Таким образом, первые пять членов последовательности: 12, 16, 20, 24, 28.
Эта последовательность является конечной, так как существует самое большое двузначное число (99). Самое большое двузначное число, кратное 4, — это 96. После него двузначных чисел, кратных 4, нет.
Ответ: 12, 16, 20, 24, 28; последовательность конечна.

2) неправильных обыкновенных дробей с числителем 11
Неправильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, а знаменатель является натуральным числом. В нашем случае числитель равен 11. Таким образом, мы ищем дроби вида $\frac{11}{n}$, где $n$ — натуральное число (1, 2, 3, ...) и выполняется условие $11 \ge n$.
Значит, знаменатель $n$ может принимать значения от 1 до 11 включительно: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
Чтобы записать дроби в порядке возрастания, их нужно упорядочить от меньшей к большей. Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та, у которой знаменатель больше. Следовательно, нам нужно перечислять дроби, начиная с той, у которой самый большой знаменатель.
Первые пять членов последовательности:
$\frac{11}{11}, \frac{11}{10}, \frac{11}{9}, \frac{11}{8}, \frac{11}{7}$
Эта последовательность является конечной, так как существует конечное число натуральных чисел (всего 11), которые не превышают 11.
Ответ: $\frac{11}{11}, \frac{11}{10}, \frac{11}{9}, \frac{11}{8}, \frac{11}{7}$; последовательность конечна.

3) натуральных чисел, дающих при делении на 8 остаток 5
Натуральные числа, которые при делении на 8 дают в остатке 5, можно найти по формуле $a_n = 8k + 5$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$). Найдем первые пять членов, подставляя вместо $k$ значения 0, 1, 2, 3 и 4.
При $k=0$: $8 \cdot 0 + 5 = 5$
При $k=1$: $8 \cdot 1 + 5 = 13$
При $k=2$: $8 \cdot 2 + 5 = 21$
При $k=3$: $8 \cdot 3 + 5 = 29$
При $k=4$: $8 \cdot 4 + 5 = 37$
Таким образом, первые пять членов последовательности: 5, 13, 21, 29, 37.
Эта последовательность является бесконечной, так как для любого натурального номера $k$ мы можем найти соответствующий член последовательности, и этому процессу нет конца.
Ответ: 5, 13, 21, 29, 37; последовательность бесконечна.