Номер 5, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. В каком случае последовательность считают заданной?

Последовательность считается заданной, если указан способ или правило, которое позволяет однозначно определить любой её член по его номеру. То есть, для любого натурального числа $n$ можно найти соответствующий ему член последовательности $a_n$. Существует несколько основных способов задания последовательностей.

Аналитический способ

Этот способ заключается в том, что последовательность задается формулой её n-го члена, то есть как функция от номера члена $n$. Формула вида $a_n = f(n)$ позволяет вычислить любой член последовательности, просто подставив в нее его порядковый номер.

Пример: Последовательность квадратов натуральных чисел задается формулой $a_n = n^2$.

С помощью этой формулы можно найти любой член последовательности:

• для $n=1$, $a_1 = 1^2 = 1$
• для $n=2$, $a_2 = 2^2 = 4$
• для $n=5$, $a_5 = 5^2 = 25$

Преимущество этого способа в том, что он позволяет найти любой член последовательности напрямую, не вычисляя предыдущие.

Ответ: Последовательность считается заданной, если указана формула её $n$-го члена, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру.

Рекуррентный способ

При рекуррентном (от лат. recurrere — возвращаться) способе задается правило, позволяющее вычислить $n$-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Обязательным условием является задание одного или нескольких начальных членов последовательности, от которых можно начать вычисления.

Пример: Арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 4$. Её можно задать рекуррентно: $a_1 = 3$ и $a_{n+1} = a_n + 4$ для $n \ge 1$.

Вычислим несколько первых членов:

• $a_1 = 3$ (задано)
• $a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$
• $a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$

Другой известный пример — последовательность Фибоначчи: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ при $n \ge 3$.

Ответ: Последовательность считается заданной, если указаны её первые один или несколько членов и рекуррентная формула, выражающая последующий член через предыдущие.

Словесный способ

Этот способ состоит в том, что правило, по которому составляются члены последовательности, описывается словами. Такое описание должно быть однозначным и не допускать различных толкований, чтобы для любого номера можно было точно определить соответствующий член.

Пример 1: Последовательность простых чисел, расположенных в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, ... Правило понятно, хотя и не существует простой аналитической формулы для нахождения $n$-го простого числа.

Пример 2: Последовательность десятичных приближений числа $\pi$ с недостатком с точностью до $n$-го знака после запятой: 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...

Ответ: Последовательность считается заданной, если дано её словесное описание, которое однозначно определяет правило нахождения любого её члена.