Номер 7, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Поясните, что такое формула $n$-го члена последовательности.

Формула n-го члена последовательности — это выражение, которое устанавливает зависимость значения любого члена последовательности от его порядкового номера $n$. Другими словами, это правило, позволяющее найти любой член последовательности, зная только его номер.

Числовая последовательность представляет собой упорядоченный набор чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$, в котором каждому натуральному числу $n$ (индексу или номеру) ставится в соответствие число $a_n$ (член последовательности).

Формула n-го члена позволяет задать последовательность аналитически, то есть в виде функции от номера члена $n$. Основное преимущество такого способа задания последовательности заключается в том, что можно вычислить значение любого члена, не находя при этом все предыдущие.

Например, для арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11, ... где каждый следующий член на 3 больше предыдущего, общая формула n-го члена имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$. В нашем случае, первый член $a_1 = 2$ и разность $d = 3$, поэтому формула для этой конкретной последовательности будет $a_n = 2 + 3(n-1) = 3n - 1$. С её помощью можно мгновенно найти любой член, например, сотый: $a_{100} = 3 \cdot 100 - 1 = 299$.

Другим примером является геометрическая прогрессия 3, 6, 12, 24, ..., где каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. Её n-ый член задаётся общей формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для данной последовательности с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = 2$ формула будет $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$. С её помощью можно найти, к примеру, восьмой член: $b_8 = 3 \cdot 2^{8-1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$.

Существуют и другие последовательности. Например, последовательность квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... задаётся очень простой формулой $a_n = n^2$.

Таким образом, формула n-го члена является мощным инструментом для описания и анализа последовательностей, предоставляя явный способ вычисления любого её элемента.

Ответ: Формула n-го члена последовательности — это аналитическое выражение (формула), которое показывает, как значение любого члена последовательности ($a_n$) зависит от его порядкового номера ($n$), и позволяет вычислить этот член напрямую.