Номер 9, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Поясните, что такое рекуррентная формула.

Рекуррентная формула (от латинского recurro — возвращаться) — это способ задания числовой последовательности, при котором каждый следующий член последовательности выражается через один или несколько предыдущих. Чтобы по такой формуле можно было однозначно вычислить все члены последовательности, необходимо также задать один или несколько её начальных членов (так называемые начальные условия или базовые случаи).

Таким образом, рекуррентное задание последовательности всегда состоит из двух частей:

• Рекуррентное соотношение — сама формула, которая связывает член последовательности с номером $n$ (обозначается $a_n$) с предыдущими членами (например, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$ и т.д.).
• Начальные условия — значения одного или нескольких первых членов последовательности (например, $a_1$, $a_2$), которые задаются явно и служат отправной точкой для вычислений.

Рассмотрим несколько известных примеров:

1. Арифметическая прогрессия

Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением постоянного числа $d$ (разности прогрессии).

• Рекуррентное соотношение: $a_{n+1} = a_n + d$
• Начальное условие: задан первый член $a_1$.

Например, если $a_1 = 5$ и $d = 3$, то мы можем последовательно найти остальные члены: $a_2 = a_1 + 3 = 5 + 3 = 8$; $a_3 = a_2 + 3 = 8 + 3 = 11$; и так далее. Получится последовательность: 5, 8, 11, 14, ...

2. Последовательность Фибоначчи

Это классический пример, где член последовательности зависит от двух предыдущих. Каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

• Рекуррентное соотношение: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ для $n \ge 3$.
• Начальные условия: необходимо задать два первых члена, например, $F_1 = 1$ и $F_2 = 1$.

Вычисления: $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$; $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$; $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$. Получится последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Отличие от явной формулы

Рекуррентную формулу важно отличать от явной формулы (или формулы n-го члена), которая позволяет вычислить любой член последовательности напрямую по его номеру $n$, не зная предыдущих членов. Например, для арифметической прогрессии явная формула имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$. С её помощью можно сразу найти $a_{100}$, не вычисляя все 99 предыдущих членов. Рекуррентная же формула описывает пошаговый процесс нахождения членов последовательности.

Ответ:

Рекуррентная формула — это формула, выражающая очередной член числовой последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для полного определения последовательности рекуррентная формула должна сопровождаться начальными условиями (заданными значениями первых нескольких членов).