Номер 692, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

692. Запишите в порядке возрастания пять первых членов последовательности:

1) двузначных чисел, кратных числу 4;

2) неправильных обыкновенных дробей с числителем 11;

3) натуральных чисел, дающих при делении на 8 остаток 5.

Укажите, конечными или бесконечными являются эти последовательности.

1) двузначных чисел, кратных числу 4
Двузначными называются числа от 10 до 99. Нам нужно найти те из них, которые делятся на 4 без остатка. Чтобы найти первый член последовательности, будем проверять числа, начиная с 10. Число 10 не делится на 4 нацело, 11 тоже. Первое двузначное число, которое делится на 4, это 12 ($12 : 4 = 3$). Это и есть первый член нашей последовательности. Каждый следующий член будет на 4 больше предыдущего.
Первый член: 12
Второй член: $12 + 4 = 16$
Третий член: $16 + 4 = 20$
Четвертый член: $20 + 4 = 24$
Пятый член: $24 + 4 = 28$
Таким образом, первые пять членов последовательности: 12, 16, 20, 24, 28.
Эта последовательность является конечной, так как существует самое большое двузначное число (99). Самое большое двузначное число, кратное 4, — это 96. После него двузначных чисел, кратных 4, нет.
Ответ: 12, 16, 20, 24, 28; последовательность конечна.

2) неправильных обыкновенных дробей с числителем 11
Неправильная обыкновенная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, а знаменатель является натуральным числом. В нашем случае числитель равен 11. Таким образом, мы ищем дроби вида $\frac{11}{n}$, где $n$ — натуральное число (1, 2, 3, ...) и выполняется условие $11 \ge n$.
Значит, знаменатель $n$ может принимать значения от 1 до 11 включительно: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
Чтобы записать дроби в порядке возрастания, их нужно упорядочить от меньшей к большей. Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та, у которой знаменатель больше. Следовательно, нам нужно перечислять дроби, начиная с той, у которой самый большой знаменатель.
Первые пять членов последовательности:
$\frac{11}{11}, \frac{11}{10}, \frac{11}{9}, \frac{11}{8}, \frac{11}{7}$
Эта последовательность является конечной, так как существует конечное число натуральных чисел (всего 11), которые не превышают 11.
Ответ: $\frac{11}{11}, \frac{11}{10}, \frac{11}{9}, \frac{11}{8}, \frac{11}{7}$; последовательность конечна.

3) натуральных чисел, дающих при делении на 8 остаток 5
Натуральные числа, которые при делении на 8 дают в остатке 5, можно найти по формуле $a_n = 8k + 5$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$). Найдем первые пять членов, подставляя вместо $k$ значения 0, 1, 2, 3 и 4.
При $k=0$: $8 \cdot 0 + 5 = 5$
При $k=1$: $8 \cdot 1 + 5 = 13$
При $k=2$: $8 \cdot 2 + 5 = 21$
При $k=3$: $8 \cdot 3 + 5 = 29$
При $k=4$: $8 \cdot 4 + 5 = 37$
Таким образом, первые пять членов последовательности: 5, 13, 21, 29, 37.
Эта последовательность является бесконечной, так как для любого натурального номера $k$ мы можем найти соответствующий член последовательности, и этому процессу нет конца.
Ответ: 5, 13, 21, 29, 37; последовательность бесконечна.