Номер 8, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Какова связь между понятиями «функция» и «последовательность»?

Связь между понятиями «функция» и «последовательность» очень тесная: последовательность является частным случаем функции. Чтобы понять эту связь, рассмотрим оба понятия по отдельности.

Функция

Функция — это правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества (называемого областью значений). Обычно функцию записывают в виде $y = f(x)$, где $x$ — это независимая переменная (аргумент), а $y$ — зависимая переменная (значение функции). Областью определения функции могут быть различные числовые множества, например, множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Последовательность

Числовая последовательность — это занумерованный ряд чисел, где каждому натуральному числу $n$ (номеру или индексу) поставлено в соответствие некоторое число $a_n$ (член последовательности). Например, последовательность четных чисел можно задать формулой $a_n = 2n$. Тогда первому номеру ($n=1$) соответствует член $a_1=2$, второму ($n=2$) — $a_2=4$, третьему ($n=3$) — $a_3=6$ и так далее.

Связь между понятиями

Из определений видно, что последовательность полностью подпадает под определение функции. Последовательность — это числовая функция, областью определения которой является множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Другими словами, для последовательности, заданной формулой $a_n$, мы можем записать функциональную зависимость $y = f(n)$, где:

• Аргументом функции является номер члена последовательности $n$, который может принимать только натуральные значения ($n \in \mathbb{N}$).
• Значением функции является сам член последовательности $a_n$.

Таким образом, запись $a_n$ — это просто традиционное обозначение для функции $f(n)$, у которой область определения — множество натуральных чисел. Основное отличие в том, что для обычной функции (например, $y=x^2$) аргумент $x$ может быть любым действительным числом, и ее график — сплошная линия (парабола). График же последовательности (например, $a_n=n^2$) представляет собой набор отдельных, изолированных точек, так как ее аргумент $n$ — только натуральные числа.

Ответ: Последовательность является частным случаем функции. Это числовая функция, областью определения которой служит множество натуральных чисел $\mathbb{N}$, а областью значений — множество членов этой последовательности.