Номер 4, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Какую последовательность называют числовой?

Числовой последовательностью называют функцию, область определения которой есть множество натуральных чисел $\mathbb{N}$. Это означает, что каждому натуральному числу $n=1, 2, 3, \dots$ ставится в соответствие некоторое действительное число $a_n$. Иными словами, это занумерованный ряд чисел, где у каждого числа есть свой порядковый номер.

Числа, образующие последовательность, называются её членами или элементами. Число $n$ называется номером или индексом члена $a_n$. Саму последовательность принято обозначать как $(a_n)$, $\{a_n\}$ или перечислением её членов: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$.Например, $a_1$ — это первый член, $a_2$ — второй, а $a_n$ — это n-й (или общий) член последовательности. Последовательности могут быть конечными (если множество номеров конечно) и бесконечными (если множество номеров — все натуральные числа).

Существует несколько основных способов задания числовой последовательности:

1. Аналитический способ. Последовательность задаётся с помощью формулы n-го члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру $n$.
Пример: Последовательность, заданная формулой $a_n = n^2 + 1$. По ней можно найти любой член: $a_1 = 1^2 + 1 = 2$, $a_2 = 2^2 + 1 = 5$, $a_{10} = 10^2 + 1 = 101$.

2. Рекуррентный способ. Указывается один или несколько первых членов и формула (рекуррентное соотношение), позволяющая найти любой член последовательности, зная предыдущие.
Пример: Арифметическая прогрессия, где $a_1 = 5$ и $a_{n+1} = a_n + 3$. Тогда $a_2 = a_1 + 3 = 5 + 3 = 8$, $a_3 = a_2 + 3 = 8 + 3 = 11$, и так далее.

3. Словесный способ. Правило задания последовательности описывается словами.
Пример: Последовательность простых чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые члены этой последовательности: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Ответ: Числовой последовательностью называют упорядоченный набор чисел, в котором каждому натуральному числу (номеру) $n$ поставлено в соответствие некоторое число $a_n$ (член последовательности). С математической точки зрения, это функция, заданная на множестве натуральных чисел.