Номер 6, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Какие способы задания последовательности вы знаете?

Существует несколько основных способов задания числовых последовательностей:

1. Аналитический способ

Последовательность задается с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его порядковому номеру n. Такая формула имеет вид $a_n = f(n)$. Это один из самых удобных способов, так как он позволяет найти любой член последовательности напрямую.

Пример: Последовательность нечетных положительных чисел задается формулой $a_n = 2n - 1$.
$a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$
$a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$
Получается последовательность: 1, 3, 5, 7, ...

Ответ: Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы n-го члена $a_n = f(n)$.

2. Рекуррентный способ

Этот способ заключается в задании формулы, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены. При этом необходимо задать один или несколько начальных членов последовательности. Название происходит от латинского слова recurrere — возвращаться.

Пример 1: Арифметическая прогрессия. Задается первый член $a_1 = 4$ и рекуррентное соотношение $a_{n+1} = a_n + 3$ для всех $n \ge 1$.
$a_1 = 4$
$a_2 = a_1 + 3 = 4 + 3 = 7$
$a_3 = a_2 + 3 = 7 + 3 = 10$
Последовательность: 4, 7, 10, 13, ...

Пример 2: Последовательность Фибоначчи. Задаются два первых члена $F_1 = 1, F_2 = 1$ и рекуррентное соотношение $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ для $n \ge 1$.
$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$
Последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Ответ: Рекуррентный способ — это задание n-го члена последовательности через предыдущие члены с указанием начальных членов.

3. Словесный способ

Правило, по которому составляется последовательность, описывается словами. Этот способ используется, когда сложно или невозможно задать последовательность аналитически или рекуррентно.

Пример 1: Последовательность простых чисел в порядке возрастания.
Ее члены: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Пример 2: Последовательность десятичных знаков в записи числа $\pi = 3,1415926...$ после запятой.
Ее члены: 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, ...

Ответ: Словесный способ — это описание правила формирования последовательности с помощью слов.

4. Перечислением членов

Для конечных последовательностей можно просто перечислить все ее члены. Для бесконечных последовательностей этот способ применим, только если закономерность очевидна из нескольких первых членов, что может привести к неоднозначности.

Пример: Последовательность количества дней в месяцах невисокосного года: 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31.

Ответ: Способ перечисления членов — это прямое указание элементов последовательности, что особенно удобно для конечных последовательностей.