Страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

702. Сколько отрицательных членов содержит последовательность $x_n$, заданная формулой $n$-го члена $x_n = 6n - 50$?

Чтобы найти количество отрицательных членов последовательности ($x_n$), заданной формулой $x_n = 6n - 50$, необходимо решить неравенство $x_n < 0$ относительно $n$. При этом следует учесть, что номер члена последовательности $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

Составим и решим неравенство:

$6n - 50 < 0$

Прибавим 50 к обеим частям неравенства:

$6n < 50$

Разделим обе части на 6:

$n < \frac{50}{6}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число для лучшего понимания:

$\frac{50}{6} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$

Таким образом, мы получили неравенство:

$n < 8\frac{1}{3}$

Так как $n$ — это натуральное число, нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше $8\frac{1}{3}$. Такими числами являются: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Подсчитаем их количество. Всего 8 чисел. Следовательно, данная последовательность содержит 8 отрицательных членов.

Ответ: 8.

703. Найдите номер первого отрицательного члена последовательности $(y_n)$, заданной формулой $n$-го члена $y_n = 38 - 3n$.

Для нахождения номера первого отрицательного члена последовательности $(y_n)$ необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется условие $y_n < 0$.

Формула n-го члена последовательности задана как $y_n = 38 - 3n$.

Составим и решим неравенство:

$38 - 3n < 0$

Перенесем $3n$ в правую часть неравенства, чтобы избавиться от знака "минус" перед переменной:

$38 < 3n$

Теперь разделим обе части неравенства на 3:

$\frac{38}{3} < n$

Представим дробь $\frac{38}{3}$ в виде смешанного числа:

$\frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$

Таким образом, мы получили неравенство $n > 12\frac{2}{3}$.

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 13.

Для проверки можно вычислить 12-й и 13-й члены последовательности:

$y_{12} = 38 - 3 \cdot 12 = 38 - 36 = 2$ (положительный член)

$y_{13} = 38 - 3 \cdot 13 = 38 - 39 = -1$ (первый отрицательный член)

Ответ: 13

704. Последовательность ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 3n - 8$.

Найдите номера членов этой последовательности, которые меньше 10.

По условию, последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = n^2 - 3n - 8$. Требуется найти номера $n$ таких членов последовательности, для которых выполняется условие $a_n < 10$.

Составим и решим неравенство, подставив в него формулу для $a_n$:
$n^2 - 3n - 8 < 10$

Для решения перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратичное неравенство:
$n^2 - 3n - 8 - 10 < 0$
$n^2 - 3n - 18 < 0$

Теперь решим это неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 3n - 18 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$n_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$n_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы решаем неравенство $n^2 - 3n - 18 < 0$. Функция $y(n) = n^2 - 3n - 18$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $n^2$ положителен). Следовательно, значения функции будут отрицательными на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-3; 6)$, то есть $-3 < n < 6$.

По определению, номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$ и $n \in \mathbb{N}$. Выберем из интервала $(-3; 6)$ все натуральные числа. Этому условию удовлетворяют числа: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

705. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = -n^2 + 15n - 20$.

Сколько членов этой последовательности больше, чем 16?

Чтобы найти количество членов последовательности, которые больше 16, необходимо решить неравенство $b_n > 16$.

Подставим формулу для $n$-го члена последовательности в неравенство:

$-n^2 + 15n - 20 > 16$

Перенесем 16 в левую часть неравенства, чтобы получить квадратичное неравенство:

$-n^2 + 15n - 20 - 16 > 0$

$-n^2 + 15n - 36 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$n^2 - 15n + 36 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 15n + 36 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Так как неравенство имеет вид $n^2 - 15n + 36 < 0$, а ветви параболы $y=n^2 - 15n + 36$ направлены вверх, решением неравенства является интервал между корнями:

$3 < n < 12$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть целым положительным числом. Найдем все целые числа в этом интервале: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Количество таких чисел равно 8.

Ответ: 8

706. Подберите одну из возможных формул n-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 1, 4, 9, 25, ...;

2) 5, 8, 11, 14, 17, ...;

3) 0, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, ...;

4) 0, 2, 0, 2, 0, ....

1) В последовательности $1, 4, 9, 25, \dots$ можно заметить, что первые три члена являются квадратами их порядковых номеров: $a_1 = 1 = 1^2$, $a_2 = 4 = 2^2$, $a_3 = 9 = 3^2$. Наиболее вероятным и простым правилом для этой последовательности является возведение порядкового номера $n$ в квадрат. При таком правиле четвертый член был бы $a_4 = 4^2 = 16$, а пятый $a_5 = 5^2 = 25$. Возможно, в условии задачи пропущен четвертый член или допущена опечатка. Выбирая наиболее простую закономерность, мы получаем формулу n-го члена $a_n = n^2$.

Ответ: $a_n = n^2$.

2) В последовательности $5, 8, 11, 14, 17, \dots$ каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число. Найдем эту разность: $8 - 5 = 3$, $11 - 8 = 3$, $14 - 11 = 3$. Это арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 5$ и разность $d = 3$. Для нахождения формулы n-го члена воспользуемся стандартной формулой арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, получим: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Ответ: $a_n = 3n + 2$.

3) Рассмотрим последовательность $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$. Представим первый член в виде дроби $0 = \frac{0}{1}$. Тогда последовательность имеет вид: $\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$. Можно заметить, что для каждого n-го члена последовательности ($a_n$) его числитель равен $n-1$, а знаменатель равен $n$. Таким образом, формула n-го члена имеет вид $a_n = \frac{n-1}{n}$. Проверим для $n=1$: $a_1 = \frac{1-1}{1} = 0$. Для $n=2$: $a_2 = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$. Формула верна.

Ответ: $a_n = \frac{n-1}{n}$.

4) В последовательности $0, 2, 0, 2, 0, \dots$ происходит чередование двух чисел. Члены, стоящие на нечетных местах, равны 0, а на четных — 2. Для описания такого чередования удобно использовать выражение $(-1)^n$, которое равно $-1$ для нечетных $n$ и $1$ для четных $n$. Проверим формулу $a_n = 1 + (-1)^n$. Если $n$ — нечетное число, то $a_n = 1 + (-1) = 0$. Если $n$ — четное число, то $a_n = 1 + 1 = 2$. Данная формула полностью описывает последовательность.

Ответ: $a_n = 1 + (-1)^n$.

707. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 2, 9, 28, 65, 126, ...;

2) $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{30}$, ...

1) Дана последовательность: 2, 9, 28, 65, 126, ...

Обозначим n-й член последовательности как $a_n$, где $n$ — натуральное число ($n=1, 2, 3, ...$). Попытаемся найти закономерность, связав значение члена последовательности с его номером $n$. Часто такие последовательности связаны со степенями чисел $n$.

Рассмотрим значения для первых нескольких членов и сравним их с кубами их номеров:

• При $n=1$, $a_1=2$. Сравним с $1^3=1$. Видим, что $a_1 = 1^3 + 1$.
• При $n=2$, $a_2=9$. Сравним с $2^3=8$. Видим, что $a_2 = 2^3 + 1$.
• При $n=3$, $a_3=28$. Сравним с $3^3=27$. Видим, что $a_3 = 3^3 + 1$.
• При $n=4$, $a_4=65$. Сравним с $4^3=64$. Видим, что $a_4 = 4^3 + 1$.
• При $n=5$, $a_5=126$. Сравним с $5^3=125$. Видим, что $a_5 = 5^3 + 1$.

Наблюдается четкая закономерность: каждый член последовательности равен кубу его номера, сложенному с единицей. Таким образом, одна из возможных формул для n-го члена последовательности:

$a_n = n^3 + 1$

Ответ: $a_n = n^3 + 1$

2) Дана последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \ldots$.

Обозначим n-й член последовательности как $b_n$. Все члены последовательности — это дроби с числителем 1. Это значит, что формула n-го члена будет иметь вид $b_n = \frac{1}{c_n}$, где $c_n$ — это последовательность знаменателей.

Рассмотрим последовательность знаменателей $c_n$: 2, 6, 12, 20, 30, ...

Попытаемся найти закономерность для $c_n$. Для этого разложим каждый знаменатель на множители:

• При $n=1$, $c_1=2 = 1 \cdot 2$
• При $n=2$, $c_2=6 = 2 \cdot 3$
• При $n=3$, $c_3=12 = 3 \cdot 4$
• При $n=4$, $c_4=20 = 4 \cdot 5$
• При $n=5$, $c_5=30 = 5 \cdot 6$

Мы видим, что каждый знаменатель $c_n$ является произведением номера члена $n$ и следующего за ним натурального числа $n+1$. Следовательно, формула для последовательности знаменателей:

$c_n = n(n+1)$

Тогда формула n-го члена исходной последовательности дробей будет:

$b_n = \frac{1}{n(n+1)}$

Ответ: $b_n = \frac{1}{n(n+1)}$

708. Сократите дробь:

1) $ \frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x} $

2) $ \frac{5xy - 5x - 2y + 2}{10x^2 - 9x + 2} $

1) $\frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель, который представляет собой квадратный трехчлен $3x^2 - 7x + 2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:

$3x^2 - 7x + 2 = 3(x - 2)(x - \frac{1}{3}) = (x - 2)(3x - 1)$

Теперь разложим на множители знаменатель $2 - 6x$, вынеся общий множитель за скобки:

$2 - 6x = 2(1 - 3x) = -2(3x - 1)$

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:

$\frac{3x^2 - 7x + 2}{2 - 6x} = \frac{(x - 2)(3x - 1)}{-2(3x - 1)} = \frac{x - 2}{-2} = -\frac{x-2}{2} = \frac{2-x}{2}$

Ответ: $\frac{2-x}{2}$

2) $\frac{5xy - 5x - 2y + 2}{10x^2 - 9x + 2}$

Для сокращения этой дроби также разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $5xy - 5x - 2y + 2$ методом группировки слагаемых:

$5xy - 5x - 2y + 2 = (5xy - 5x) + (-2y + 2) = 5x(y - 1) - 2(y - 1) = (5x - 2)(y - 1)$

Далее разложим на множители знаменатель $10x^2 - 9x + 2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $10x^2 - 9x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

Разложим трехчлен на множители:

$10x^2 - 9x + 2 = 10(x - \frac{1}{2})(x - \frac{2}{5}) = 2(x - \frac{1}{2}) \cdot 5(x - \frac{2}{5}) = (2x - 1)(5x - 2)$

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение на общий множитель $(5x-2)$:

$\frac{5xy - 5x - 2y + 2}{10x^2 - 9x + 2} = \frac{(5x - 2)(y - 1)}{(2x - 1)(5x - 2)} = \frac{y - 1}{2x - 1}$

Ответ: $\frac{y-1}{2x-1}$

709. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{\sqrt{2-x}}{x+2}$;

2) $y = \frac{\sqrt{6-5x-x^2}}{x-1}$.

1) $y = \frac{\sqrt{2-x}}{x+2}$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для данной функции должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ x+2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$2-x \ge 0$

$-x \ge -2$

$x \le 2$

Решим второе условие:

$x+2 \neq 0$

$x \neq -2$

Теперь необходимо найти пересечение этих двух условий. Мы ищем все числа, которые меньше или равны 2, но при этом не равны -2. Это множество можно представить в виде объединения двух промежутков: от минус бесконечности до -2 (не включая -2) и от -2 до 2 (включая 2).

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2]$

2) $y = \frac{\sqrt{6-5x-x^2}}{x-1}$

Для нахождения области определения этой функции также необходимо учесть два ограничения:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель не должен обращаться в ноль.

Составим систему условий:

$\begin{cases} 6-5x-x^2 \ge 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $6-5x-x^2 \ge 0$. Для удобства умножим обе части на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$x^2+5x-6 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+5x-6=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Парабола $y = x^2+5x-6$ имеет ветви, направленные вверх. Значит, значения квадратного трехчлена меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства $x^2+5x-6 \le 0$ является отрезок $x \in [-6, 1]$.

Теперь решим второе условие:

$x-1 \neq 0$

$x \neq 1$

Объединим полученные результаты. Мы должны выбрать все значения $x$ из отрезка $[-6, 1]$, исключив при этом точку $x=1$. В результате получаем полуинтервал.

Ответ: $[-6, 1)$

710. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точку $A(-1; -\frac{1}{4})$. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид квадратичной функции, график которой представляет собой параболу с вершиной в начале координат (в точке $(0; 0)$), задается формулой $y = ax^2$.

По условию задачи, парабола проходит через точку $A(-1; -\frac{1}{4})$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Чтобы найти значение коэффициента $a$, подставим координаты точки $A$ (где $x = -1$ и $y = -\frac{1}{4}$) в формулу функции.

Получаем следующее уравнение:
$-\frac{1}{4} = a \cdot (-1)^2$

Решим это уравнение относительно $a$:
$-\frac{1}{4} = a \cdot 1$
$a = -\frac{1}{4}$

Теперь, зная значение коэффициента $a$, мы можем записать итоговую формулу для данной квадратичной функции, подставив $a = -\frac{1}{4}$ в исходное уравнение $y = ax^2$.
$y = -\frac{1}{4}x^2$

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x^2$

711. Рабочий планировал за некоторое время изготовить 160 деталей. Однако он закончил работу на 3 ч раньше, чем планировал, так как изготавливал на 12 деталей в час больше запланированного. Сколько деталей в час изготавливал рабочий?

Пусть $x$ — запланированная производительность рабочего, то есть количество деталей, которое он планировал изготавливать в час. По условию задачи, рабочий изготавливал на 12 деталей в час больше, следовательно, его фактическая производительность равна $x + 12$ деталей в час.

Общее количество деталей, которое нужно было изготовить, — 160.

Время, за которое рабочий планировал выполнить всю работу, составляет $t_{план} = \frac{160}{x}$ часов.

Фактическое время, которое рабочий затратил на выполнение работы, составляет $t_{факт} = \frac{160}{x + 12}$ часов.

Из условия известно, что рабочий закончил работу на 3 часа раньше, чем планировал. Это означает, что запланированное время больше фактического на 3 часа. Составим уравнение:

$t_{план} - t_{факт} = 3$

$\frac{160}{x} - \frac{160}{x + 12} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 12)$:

$\frac{160(x + 12) - 160x}{x(x + 12)} = 3$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{160x + 1920 - 160x}{x^2 + 12x} = 3$

$\frac{1920}{x^2 + 12x} = 3$

Это пропорция, из которой следует (учитывая, что производительность $x$ не может быть равна 0 или -12):

$3(x^2 + 12x) = 1920$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + 12x = 640$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 640 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-640) = 144 + 2560 = 2704$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{2704}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + 52}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{2704}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - 52}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Поскольку $x$ обозначает запланированную производительность (количество деталей в час), эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -32$ не является решением задачи.

Таким образом, запланированная производительность рабочего составляет $x = 20$ деталей в час.

Вопрос задачи — найти, сколько деталей в час изготавливал рабочий фактически. Фактическая производительность равна $x + 12$:

$20 + 12 = 32$ (детали в час).

Ответ: 32 детали в час.